[논문 리뷰] On one class of functions with complicated local structure that the solutions of infinite systems of functional equations (On one application of infinite systems of functional equations in the functions theory)

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 01.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 17인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 국소적 구조를 가진 함수, 예를 들어 특이성, 어디서도 단조가 아니며 어디서도 미분 가능하지 않은 함수를 모델링하기 위해 nega-˜Q-표현 기반의 새로운 무한 기능 방정식 시스템을 조사한다. [0,1]에서 연속적이고 유계인 해의 존재성과 유일성을 증명하고, 그 해석적 형태를 유도하며, 독립적인 ˜Q-기호를 가진 랜덤 변수의 분포 함수로 작용할 조건을 설정한다. 또한, 이 해가 어떤 nega-˜Q-유리수 점에서도 유한하거나 무한한 도함수를 가지지 않음을 보여주어 병리적인 미분 가능성 성질을 확인한다.

ABSTRACT

The article is devoted to investigation of applications of infinite systems of functional equations for modeling of functions with complicated local structure, that are defined in terms of the nega-$ ilde Q$-representation. The infinite system of functional equations $$ f\left(\hat \varphi^k(x) ight)= ilde \beta_{i_{k+1},k+1}+ ilde p_{i_{k+1},k+1}f\left(\hat \varphi^{k+1}(x) ight), $$ where $k=0,1,...$, $\hat \varphi$ is a shift operator of the $ ilde Q$-expansion, $x=\Delta^{- ilde Q} _{i_1(x)i_2(x)...i_n(x)...}$, are investigated. It is proved, that the system has the unique solution in the class of determined and bounded on $[0;1]$ functions and continuity of the solution. His analytical presentation is founded. Conditions of its monotonicity and nonmonotonicity, differential, integral properties are studied. Conditions under which the solution of the functional equations system is a distribution function of random variable $\eta=\Delta^{ ilde Q} _{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$ with independent $ ilde Q$-symbols are discovered. The results of the article was represented in Fourth all-Ukrainian Scientific Conference of Young Scientists on Mathematics and Physics, Kyiv, April 23-25, 2015 (https://www.researchgate.net/publication/301765100). The investigation was represented at the seminar on fractal analysis of Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine on, October 30, 2014 (http://www.imath.kiev.ua/events/index.php?seminarId=21&archiv=1).

연구 동기 및 목표

• 무한 기능 방정식 시스템의 적용을 통해 복잡한 국소적 구조를 가진 함수를 모델링하는 것.
• nega-˜Q-표현 기반의 새로운 기능 방정식 클래스에 대해 [0,1]에서 연속적이고 유계인 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 해의 해석적, 단조성, 미분성, 적분성 성질을 분석하는 것.
• 해가 독립적인 ˜Q-기호를 가진 랜덤 변수의 분포 함수로 작용할 조건을 규명하는 것.
• 해가 어떤 nega-˜Q-유리수 점에서도 어디서도 미분 가능하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 논문은 nega-˜Q-전개와 관련된 이동 연산자 ˆϕk를 사용하여 무한 기능 방정식 시스템을 정의한다: k = 0,1,...에 대해 f(ˆϕk(x)) = ˜βik+1,k+1 + ˜pik+1,k+1f(ˆϕk+1(x)).
• x ∈ [0,1]의 ˜Q-표현을 바탕으로 해는 F(x) = βi1(x),1 + Σ_{k=2}^∞ [˜βik(x),k * Π_{j=1}^{k-1} ˜pij(x),j]로 해석적으로 구성된다.
• ˜Q-표현은 s-adic 및 칸토어 급수 전개를 일반화하며, 각 열의 양수 성분의 합이 1이고 무한 곱이 0이 되는 조건을 만족하는 행렬 ||qi,n||을 사용한다.
• 해는 무한 곱의 구조에 대한 재귀적 기능 관계와 수렴 논증을 통해 [0,1]에서 연속적이고 유계임을 보였다.
• 해의 그래프는 ˜qin,n, ˜ain,n, ˜βin,n, ˜pin,n를 정의하는 아핀 변환 ψin,n의 시퀀스에 대한 불변 집합으로 특성화된다.
• 미분 가능성 분석은 nega-˜Q-유리수 점에 수렴하는 양방향 수열을 사용하며, 좌우 차분 몫을 비교하여 극한이 발산함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 nega-˜Q-표현 기반의 무한 기능 방정식 시스템은 [0,1]에서 유일하고 유계적이며 연속적인 해를 갖는가?
• RQ2 기능 방정식 시스템의 해가 독립적인 ˜Q-기호를 가진 랜덤 변수의 분포 함수가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 해는 어떤 nega-˜Q-유리수 점에서도 어디서도 미분 가능하지 않은가? 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 해의 해석적, 단조성, 적분 성질은 무엇인가?
• RQ5 해의 그래프는 어떤 아핀 변환의 시퀀스에 대한 불변 집합으로 어떻게 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 무한 기능 방정식 시스템은 [0,1]에서 유계이자 연속적인 함수의 클래스에 대해 유일한 해를 갖는다.
• 해 F(x)는 x의 nega-˜Q-표현을 바탕으로 F(x) = βi1(x),1 + Σ_{k=2}^∞ [˜βik(x),k * Π_{j=1}^{k-1} ˜pij(x),j]로 해석적으로 표현된다.
• 해는 [0,1] 내의 어떤 nega-˜Q-유리수 점에서도 어디서도 미분 가능하지 않으며, 좌우 차분 몫의 극한이 발산하기 때문이다.
• 매개변수 ˜pij,j 및 ˜qij,j가 주어진 조건을 만족할 경우, 해는 독립적인 ˜Q-기호를 가진 랜덤 변수 η = ∆˜Q ξ1ξ2...ξn...의 분포 함수이다.
• F의 그래프는 아핀 변환 ψin,n의 복합체에 대해 불변 집합이며, ΓF = ∪_{x∈[0,1]} (... ◦ ψin(x),n ◦ ... ◦ ψi1(x),1(ΓF))를 만족한다.
• 해는 병리적인 미분 가능성을 보이며, 어떤 nega-˜Q-유리수 점에서도 유한하거나 무한한 도함수가 없으며, 차분 몫의 비율 수열이 수렴하지 않기 때문이다.