[논문 리뷰] On One-way Functions and Kolmogorov Complexity

Wenbo Liu, Rafael Pass|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 24.

Cryptography and Data Security참고 문헌 50인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일방향 함수의 존재성과 다항시간 제한된 콜모고로프 복잡도($K^{\mathsf{poly}}$)의 온건한 평균적 난이도 사이의 동치성을 확립한다. 일방향 함수가 존재하는 것은 유비쿼터스 다항시간 알고리즘이 $n$-비트 문자열의 $1 - \frac{1}{p(n)}$ 이상의 비율에서 $K^{\mathsf{poly}}$를 정확히 계산할 수 없는 것과 동치이며, 이는 핵심 사설 키密码 primitive의 실현 가능성과 관련된 첫 번째 자연스럽고 잘 알려진 문제를 규명한다.

ABSTRACT

We prove that the equivalence of two fundamental problems in the theory of computing. For every polynomial $t(n)\geq (1+\varepsilon)n, \varepsilon>0$, the following are equivalent: - One-way functions exists (which in turn is equivalent to the existence of secure private-key encryption schemes, digital signatures, pseudorandom generators, pseudorandom functions, commitment schemes, and more); - $t$-time bounded Kolmogorov Complexity, $K^t$, is mildly hard-on-average (i.e., there exists a polynomial $p(n)>0$ such that no PPT algorithm can compute $K^t$, for more than a $1-\frac{1}{p(n)}$ fraction of $n$-bit strings). In doing so, we present the first natural, and well-studied, computational problem characterizing the feasibility of the central private-key primitives and protocols in Cryptography.

연구 동기 및 목표

• 일방향 함수의 존재성을 특징짓는 자연스럽고 평균적 난이도가 있는 계산 문제가 존재하는지 여부에 대한 오랫동안 남아있던 열린 질문을 해결하기 위해.
• 일방향 함수의 존재성과 $K^{\mathsf{poly}}$ 복잡도의 평균적 난이도 사이의 직접적인 동치성을 확립하기 위해.
• 복잡도 이론적 문제로서 잘 알려진 문제를 통해 중심 사설 키 암호 primitive(예: 근본적인 난수 생성기, 디지털 서명, 암호적 약속 체계)의 실현 가능성에 대한 특징을 제공하기 위해.
• 일방향 함수가 존재하는 것과 $K^{\mathsf{poly}}$가 온건하게 평균적으로 어렵다는 것이 상호 동치임을 보여주어 암호학의 기본 가정을 알고리즘 정보 이론의 핵심 문제와 연결하기 위해.

제안 방법

• 일방향 함수와 $K^{\mathsf{poly}}$ 복잡도에서 유도된 하드코어 함수를 기반으로 조건부 예측 다항시간 난수 생성기(조건부 EP-PRG)를 구성한다.
• 특정 입력 길이에 대해 정의된 조건부 EP-PRG를 모든 입력 길이에 대해 정의된 레이트-1 효율적인 조건부 EP-PRG로 변환하기 위해 팯딩 기법을 사용한다.
• 해시 함수와 GL 하드코어 함수를 활용하여 엔트로피 손실를 통제하면서 근본적인 난수 비트를 생성하여 출력이 균일함과 구별되지 않도록 보장한다.
• 실행 시간이 입력 길이의 다항식으로 제한되며 오차 확률이 무시할 만큼 작은 것을 보장하기 위해 파라미터 변환을 적용한다.
• 만약 $K^{\mathsf{poly}}$가 온건하게 평균적으로 어렵다면, $K^{\mathsf{poly}}$를 기반으로 하는 보편적 구성법을 통해 일방향 함수를 구성할 수 있다는 사실을 활용한다.
• 평균적 난이도에서 $K^{\mathsf{poly}}$로의 감소를 통해 일방향 함수의 존재성으로의 연결을 보이며, $K^{\mathsf{poly}}$를 깨는 데에 효율적인 알고리즘이 존재하면 일방향 함수의 역함수를 구하는 방법이 존재함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일방향 함수의 존재성을 특징짓는 자연스럽고 잘 알려진 계산 문제가 존재하는가?
• RQ2 일반적인 $K^{\mathsf{poly}}$ 복잡도의 평균적 난이도를 이용해 일방향 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 평균적 난이도의 $K^{\mathsf{poly}}$는 일방향 함수의 존재성과 동치인가?
• RQ4 일반적인 $K^{\mathsf{poly}}$의 난이도로부터 레이트-1 효율적인 조건부 EP-PRG를 구성할 수 있는가?
• RQ5 일방향 함수의 존재성은 $K^{\mathsf{poly}}$가 온건하게 평균적으로 어렵다는 것을 의미하는가?

주요 결과

• 일방향 함수가 존재하는 것은 $K^{\mathsf{poly}}$가 온건하게 평균적으로 어렵다는 것과 동치이며, 이는 복잡도 이론과 암호학 분야에서 두 핵심 문제 사이의 날카로운 동치성을 확립한다.
• 일반적인 평균적 난이도의 $K^{\mathsf{poly}}$는 모든 표준 사설 키 암호 primitive, 즉 근본적인 난수 생성기, 디지털 서명, 암호적 약속 체계의 존재를 암시한다.
• $\mu(n) = \frac{1}{n^2}$인 레이트-1 효율적인 $\mu$-조건부 EP-PRG를 구성하여, 이 구성이 $K^{\mathsf{poly}}$의 난이도에 기반하여 효율적이고 안전함을 보여준다.
• 조건부 EP-PRG의 구성은 실행 시간이 입력 길이의 다항식으로 제한되며 오차 확률이 무시할 만큼 작음을 보장한다.
• 생성기의 엔트로피 손실는 일정한 상수 배수의 $\log n$ 이내로 통제되고 제한되어 있어, 다중 응용 후에도 출력이 여전히 근본적인 난수처럼 유지됨을 보장한다.
• 논문은 $K^{\mathsf{poly}}$가 Minicrypt primitive의 실현 가능성과 관련된 첫 번째 자연스럽고 잘 알려진 문제임을 보여줌으로써 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.