[논문 리뷰] On Operator Valued Measures

Darian McLaren, Sarah Plosker외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 31.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 힐버트 공간에서 양의 연산자값 측도(POVMs)에 대해 고전적 측도 이론 결과—레베그 및 존슨 분해—을 일반화한다. 일반적인 양의 조건을 완화함으로써 더 넓은 수학적 분석을 가능하게 한다. 양의 연산자값 측도에 대해 양자 상태에 대한 라돈-니코디움 미분을 정의하고, 절대 연속성, 청소함수성(cleanness), 그리고 원자적/비원자적 분해 간의 관계를 규명하며, 청소함수성 동치가 비원자성을 유지함을 증명한다.

ABSTRACT

We consider positive operator valued measures whose image is the bounded operators acting on an infinite-dimensional Hilbert space, and we relax, when possible, the usual assumption of positivity of the operator valued measure seen in the quantum information theory literature. We define the Radon-Nikodym derivative of a positive operator valued measure with respect to a complex measure induced by a given quantum state; this derivative does not always exist when the Hilbert space is infinite dimensional in so much as its range may include unbounded operators. We define integrability of a positive quantum random variable with respect to a positive operator valued measure. Emphasis is put on the structure of operator valued measures, and we develop positive operator valued versions of the Lebesque decomposition theorem and Johnson's atomic and nonatomic decomposition theorem. Beyond these generalizations, we make connections between absolute continuity and the "cleanness" relation defined on positive operator valued measures as well as to the notion of atomic and nonatomic measures.

연구 동기 및 목표

• 고전적 분해 정리—레베그 및 존슨 분해—을 무한차원 힐버트 공간에서 연산자값 측도로 확장한다.
• POVMs의 표준적인 양의 조건을 완화하여 양자 정보 이론에서 더 넓은 수학적 분석을 가능하게 한다.
• 무한차원에서 발생할 수 있는 비유계 연산자를 포함할 수 있도록, 양자 상태에 대한 POVM의 라돈-니코디움 미분을 정의하고 연구한다.
• 절대 연속성, '청소함수성' 관계, 그리고 양자 확률 측도의 원자적/비원자적 구조 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 무한차원 힐버트 공간에서 Borel 집합에서 유계 연산자로의 약한 가산加법성 사상으로서 연산자값 측도(OVMs)를 정의한다.
• 양자 상태에 의해 유도된 복소측도에 대한 POVM의 라돈-니코디움 미분을 도입하며, 무한차원에서는 비유계 연산자가 발생할 수 있음을 지적한다.
• 기존의 레베그 분해 정리에 대한 양의 연산자값 버전을 개발하여, POVM을 기준 측도에 대해 절대 연속 부분과 특이 부분으로 분리한다.
• 존슨의 분해에 대한 연산자값 버전을 수립하여, POVM을 원자적 부분과 비원자적 부분으로 분할한다.
• 양자 정보 이론에서의 청소함수 순서 관계를 사용하여 POVM의 구조적 성질을 분석하며, 특히 절대 연속성과의 관계를 다룬다.
• 청소함수성 동치가 비원자성을 유지함을 증명하여, 한 측도가 비원자적이라면 다른 측도 역시 비원자적임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레베그 분해 정리는 무한차원 힐버트 공간에서의 양의 연산자값 측도에 대해 일반화될 수 있는가?
• RQ2 양자 상태에 대한 POVM의 라돈-니코디움 미분은 어떤 조건에서 존재하며, 언제 비유계가 될 수 있는가?
• RQ3 양자 확률 측도의 맥락에서 절대 연속성과 '청소함수성' 개념은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 측도의 원자적 및 비원자적 부분으로의 존슨 분해가 연산자값 측도로 확장될 수 있는가?
• RQ5 청소함수성 동치 하에서 양자 확률 측도의 원자적 또는 비원자적 성질은 유지되는가?

주요 결과

• 레베그 분해 정리는 POVMs로 일반화되어, 기준 측도에 대해 절대 연속 부분과 특이 부분으로 POVM을 분해할 수 있다.
• 양자 상태에 대한 POVM의 라돈-니코디움 미분은 존재할 수 있지만, 힐버트 공간이 무한차원일 경우 비유계 연산자를 유도할 수 있다.
• 존슨의 분해에 대한 양의 연산자값 버전이 수립되어, POVM을 원자적 및 비원자적 구성요소로 분할할 수 있다.
• 청소함수성 동치는 비원자성을 유지한다: 한 측도가 비원자적이라면 다른 측도 역시 비원자적이다.
• 정보적으로 완전한 양자 확률 측도는 서로 상호 특이인 측도들의 합으로, 합이 항등원이 되는 선형 독립인 양의 연산자로 가중치를 두어 구성할 수 있다.
• 원자적 또는 비원자적 성질이 측도 공간을 유일하게 결정하지는 않으며, 동일한 연산자 체계가 원자적 측도와 비원자적 측도를 모두 수용할 수 있다.