[논문 리뷰] On Optimal 2- and 3-Planar Graphs

Michael A. Bekos, Michael Kaufmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 19.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최적의 2- 및 3-평면 그래프를 완전히 특성화한다—각각 5n−10 및 5.5n−11의 최대 간선 수를 달성하는 그래프로서, 매우 규칙적인 구조를 가짐을 증명한다: 진정의 평면 스켈레톤의 각 면은 2-평면인 경우 5-사이클, 3-평면인 경우 6-사이클이며, 각각 정확히 5개 또는 8개의 추가적인 교차 간선을 포함한다. 특성화 결과, 최적의 2-평면 그래프는 팬-평면이며 바 1-가시성 표현을 갖는다. 반면 최적의 3-평면 그래프는 팬-평면이 아니며, 준-평면이다.

ABSTRACT

A graph is $k$-planar if it can be drawn in the plane such that no edge is crossed more than $k$ times. While for $k=1$, optimal $1$-planar graphs, i.e., those with $n$ vertices and exactly $4n-8$ edges, have been completely characterized, this has not been the case for $k \geq 2$. For $k=2,3$ and $4$, upper bounds on the edge density have been developed for the case of simple graphs by Pach and Tóth, Pach et al. and Ackerman, which have been used to improve the well-known "Crossing Lemma". Recently, we proved that these bounds also apply to non-simple $2$- and $3$-planar graphs without homotopic parallel edges and self-loops. In this paper, we completely characterize optimal $2$- and $3$-planar graphs, i.e., those that achieve the aforementioned upper bounds. We prove that they have a remarkably simple regular structure, although they might be non-simple. The new characterization allows us to develop notable insights concerning new inclusion relationships with other graph classes.

연구 동기 및 목표

• 최적의 2- 및 3-평면 그래프를 완전히 특성화하는 것—간선 밀도의 이론적 상한에 도달하는 그래프이다.
• 비단순성의 가능성을 고려할지라도 이러한 최적 그래프가 균일하고 규칙적인 구조 패턴을 갖는지 여부를 규명하는 것.
• 최적의 2- 및 3-평면 그래프와 팬-평면 및 바-가시성 그래프와 같은 다른 그래프 클래스 간의 포함 관계를 탐색하는 것.
• 최적의 2- 및 3-평면 그래프에서 관찰된 구조적 규칙성이 k ≥ 4인 높은 차수의 k-평면 그래프로 일반화되는지 조사하는 것.

제안 방법

• 모든 면이 고정된 크기의 단순 사이클(2-평면인 경우 5, 3-평면인 경우 6)인 최적의 k-평면 그래프의 진정한 평면 스켈레톤 Π(G) 분석.
• 스켈레톤의 각 면이 정확히 5개(2-평면) 또는 8개(3-평면)의 간선에 의해 교차됨을 증명하여 규칙적인 구성 형성.
• s-t 순서 및 바-가시성 표현 기법을 활용하여 단순 최적의 2-평면 그래프가 바 1-가시성 표현을 갖는다는 것을 보임.
• 위상수학적 그래프 이론 및 교차 그래프 분석을 적용하여 간선 교차 및 구성 요소 연결성에 대한 구조적 제약 설정.
• 이전에 알려진 k-평면 간선 밀도의 경계(예: 2-평면인 경우 5n−10)를 활용하고, 동형성 간선이 없는 비단순 그래프로 이를 확장.
• 최적의 k-평면 그래프를 팬-평면 및 준-평면 클래스와 비교하여 포함 관계 및 구조적 관계를 규명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적의 2-평면 그래프는 어떤 구조적 성질을 가지며, 이를 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ2 최적의 3-평면 그래프는 최적의 2-평면 그래프와 유사한 규칙적인 구조를 보이는가?
• RQ3 모든 단순 최적의 2-평면 그래프는 팬-평면인가? 그리고 바 1-가시성 그래프로 표현될 수 있는가?
• RQ4 최적의 2- 및 3-평면 그래프의 구조적 규칙성이 k ≥ 4인 최적의 k-평면 그래프로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 최적의 2- 및 3-평면 그래프는 준-평면 성질을 만족하는가? 이는 k ≥ 3에 대해 알려진 결과를 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 최적의 2-평면 그래프는 모든 면이 5-사이클인 진정한 평면 스켈레톤을 가지며, 각 면 내부에 정확히 5개의 교차 간선이 존재한다.
• 최적의 3-평면 그래프는 모든 면이 6-사이클인 진정한 평면 스켈레톤을 가지며, 각 면 내부에 정확히 8개의 교차 간선이 존재한다.
• 단순 최적의 2-평면 그래프는 PMCM-그림이 팬-평면 조건(모든 간선 교차가 공통의 끝점에서만 발생)을 만족하므로 팬-평면이다.
• 단순 최적의 2-평면 그래프는 각 가시성 간선이 정확히 한 개의 정점 바와 교차하는 바 1-가시성 표현을 갖는다.
• 최적의 3-평면 그래프는 팬-평면이 아니며, 공통의 끝점이 없는 세 개의 상호 교차 간선 구성이 존재하기 때문이다.
• 최적의 2- 및 3-평면 그래프는 준-평면이며, 이는 k-준-평면 성질이 k=2로도 확장될 수 있음을 시사한다.