[논문 리뷰] On optimization of coherent and incoherent controls for two-level quantum systems

О. В. Моржин, Alexander Pechen|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 05.

Laser-Matter Interactions and Applications참고 문헌 57인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 단계 최적 제어 방법을 수정하여, 제1단계의 일정한 비협동 제어를 수치적으로 최적화된 조각별 일정한 비협동 제어로 대체하는 방법을 제안한다. 시스템 상태, 목표 함수 및 기울기의 정확한 해석적 표현을 유도함으로써, 고성능 유지와 함께 제1단계 지속 시간을 몇 배 이상 단축시킬 수 있으며, 이는 이중 단계 기울기 투영 방법(GPM-2)을 통해 달성된다.

ABSTRACT

This article considers some control problems for closed and open two-level quantum systems. The closed system's dynamics is governed by the Schrödinger equation with coherent control. The open system's dynamics is governed by the Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad master equation whose Hamiltonian depends on coherent control and superoperator of dissipation depends on incoherent control. For the closed system, we consider the problem for generation of the phase shift gate for some values of phases and final times for which numerically show that zero coherent control, which is a stationary point of the objective functional, is not optimal; it gives an example of subtle point for practical solving problems of quantum control. For the open system, in the two-stage method which was developed for generic N-level quantum systems in [Pechen A., Phys. Rev. A., 84, 042106 (2011)] for approximate generation of a target density matrix, here we consider the two-level systems for which modify the first ("incoherent") stage by numerically optimizing piecewise constant incoherent control instead of using constant incoherent control analytically computed using eigenvalues of the target density matrix. Exact analytical formulas are derived for the system's state evolution, the objective functions and their gradients for the modified first stage. These formulas are applied in the two-step gradient projection method. The numerical simulations show that the modified first stage's duration can be significantly less than the unmodified first stage's duration, but at the cost of optimization in the class of piecewise constant controls.

연구 동기 및 목표

• 두 수준 열린 양자 시스템에서 목표 밀도 행렬 준비를 위한 비협동 제어 단계의 지속 시간 최소화 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 두 단계 방법이 목표 상태 고유값에 기반한 해석적으로 계산된 일정한 비협동 제어에 의존하는 한계를 극복하기 위해.
• 더 빠른 상태 준비를 위해 조각별 일정한 비협동 제어를 수치적으로 최적화한 대안을 개발하기 위해.
• 효율적인 최적화를 위해 수정된 제1단계에서 시스템 상태, 목표 함수 및 기울기의 정확한 해석적 공식을 유도하기 위해.
• 높은 성능 유지 조건에서 제1단계 지속 시간 단축에 따른 성능 향상을 평가하기 위해.

제안 방법

• 제1단계의 해석적으로 유도된 일정한 비협동 제어를 수치적으로 최적화된 조각별 일정한 비협동 제어로 대체한다.
• 조각별 일정한 비협동 제어 하에서의 시스템 진화를 Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad(GKSL) 마스터 방정식을 사용하여 정확한 해석적 표현을 유도한다.
• 목표 함수와 기울기를 해석적으로 계산하여, 이중 단계 GPM-2 방법에서 효율적인 기울기 기반 최적화를 가능하게 한다.
• 수정된 제1단계 상태를 초기 조건으로 사용하여 제2단계의 협동 제어를 GPM-2 방법으로 최적화한다.
• 목표 기능의 프레셰 도함수를 사용하여 반복 최적화를 위한 기울기 증분을 계산하고, 협동 제어의 경계 조건을 강제하기 위한 펜alty 항을 도입한다.
• GRAPE, 분열 진화, 이중 냉각을 사용하여 제어 지형을 탐색하고 결과를 검증하기 위해 수치 최적화를 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각별 일정한 비협동 제어는 일정한 비협동 제어에 비해 두 수준 열린 양자 시스템의 제1단계 지속 시간을 단축시킬 수 있는가?
• RQ2 두 단계 제어 프레임워크 내에서 비협동 제어의 수치 최적화가 최종 밀도 행렬의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 목표 함수의 해석적 기울기가 수정된 제1단계에서 최적화의 효율성과 정확성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 수정된 두 단계 방법은 시간 요구 조건을 줄이면서도 원래 방법의 수렴 성질을 유지하거나 향상시키는가?
• RQ5 실제 양자 제어에서 제어 복잡성(조각별 일정 대비 일정)과 지속 시간 단축 사이의 상충관계가 어떤 조건에서 정당화되는가?

주요 결과

• 조각별 일정한 비협동 제어를 사용한 수정된 제1단계는 일정한 비협동 제어를 사용한 원래 제1단계보다 지속 시간이 상당히 짧아졌으며, 최대 몇 배까지 단축될 수 있었다.
• 수정된 제1단계에서 시스템 상태, 목표 함수 및 기울기의 정확한 해석적 표현을 도출하여 기울기 기반 최적화의 효율성을 보장하였다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 수정된 방법은 목표 밀도 행렬에 대해 높은 성능을 유지하였으며, 테스트 케이스에서 목표 상태와의 거리가 $ 0.5\varepsilon_{\rm 2stage} $ 이내로 감소하였다.
• 해석적 기울기를 사용한 기울기 투영 방법(GPM-2)은 수렴 속도 면에서 순수한 확률적 방법보다 뛰어난 강건성과 효율성을 보였다.
• 일부 매개변수 영역에서는 협동 제어를 0으로 설정하는 것이 위상 이동 게이트 생성에 최적이 아니며, 이는 양자 제어 지형에 비트레이스러운 구조가 있음을 드러냈다.
• 수정된 방법은 실험적 제약 조건이 조각별 일정한 비협동 제어를 허용할 경우, 제어 복잡성과 시간 효율성 사이의 실현 가능한 상충관계를 제공한다.