[논문 리뷰] On $p$-adic $L$-functions for Hilbert modular forms

John Bergdall, David J. Hansen|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p$-정련(cohomological) 힐베르트 모듈러 형식에 대해 임의의 전체 실수체 위에서 작용하는 정규 $p$-진 $L$-함수를 구성한다. 이때 작도 기울기 또는 비임계성 가정을 필요로 하지 않는다. 구성은 초수렴(cohomology)에서 국소 해석적 분포로의 아델(adelic) 사상과 함께 이루어지며, 임계적으로 정련된 점에서 고유변형(eigenvariety)의 미분가능성을 확립함으로써 $p$-진 가족 전반에 걸쳐 특수값을 보간할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We construct $p$-adic $L$-functions associated with $p$-refined cohomological cuspidal Hilbert modular forms over any totally real field under a mild hypothesis. Our construction is canonical, varies naturally in $p$-adic families, and does not require any small slope or non-criticality assumptions on the $p$-refinement. The main new ingredients are an adelic definition of a canonical map from overconvergent cohomology to a space of locally analytic distributions on the relevant Galois group and a smoothness theorem for certain eigenvarieties at critically refined points.

연구 동기 및 목표

• 임의의 전체 실수체 위에서 $p$-정련(cohomological) 힐베르트 모듈러 형식에 대한 정규 $p$-진 $L$-함수를 정의하는 것.
• $p$-정련에서 작은 기울기 또는 비임계성과 같은 제한적인 가정을 제거하는 것.
• $p$-진 $L$-함수가 $p$-진 가족 전반에 자연스럽게 변함을 보장하는 것.
• 정규 $p$-진 $L$-함수가 잘 정의되도록, 임계적으로 정련된 점에서 고유변형의 미분가능성을 확립하는 것.
• 코homology에서 국소 해석적 분포로의 주기 사상(period map)을 정규적이고 아델식으로 구성하는 것.

제안 방법

• 과수수렴(cohomology)에서 갈루아 군 $\Gamma_F$ 위의 국소 해석적 분포로의 정규 사상의 아델적 정의.
• $p$-구분된, 타당한 고전적 점에서 고유변형의 미분가능성 정리(정리)를 활용하여 보간의 보장을 받는다.
• 주기 사상과 함께 대수적 특수값을 보간하여 $p$-진 $L$-함수를 구성한다.
• 국소 해석적 분포와 $p$-진 스트레칭을 활용하여 $L$-값의 $p$-진 보간을 다룬다.
• $(\varphi,\Gamma)$-모듈과 삼각형 표현의 변형 이론을 적용하여 국소 갈루아 표현을 제어한다.
• 호크시لد-세르 스펙트럴 시퀀스와 푸앵카레 dualit의 적용을 통해, $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$-이미지를 가진 갈루아 표현의 경우 $d$차수에서 코homology의 집중을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작도 기울기 또는 비임계성 가정 없이 $p$-정련 힐베르트 모듈러 형식에 대해 $p$-진 $L$-함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 코homology에서 국소 해석적 분포로의 주기 사상에 대해 정규적이고 아델식인 구성이 존재하는가?
• RQ3 타당성 가정 하에 임계적으로 정련된 점에서 고유변형이 여전히 미분가능한가?
• RQ4 $p$-진 가족 전반에 걸쳐 $L$-함수의 특수값을 $p$-진으로 보간할 수 있는가?
• RQ5 모듈로 $p$ 갈루아 표현에서 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$-이미지를 포함하는 점에서 고유변형의 코homological 행동은 어떠한가?

주요 결과

• $p$-진 $L$-함수는 기울기 또는 임계성 가정 없이 정규적으로 구성되며, $p$-진 가족 전반에 자연스럽게 변한다.
• 타당성 가정 하에 $p$-구분된, 타당한 고전적 점에서 고유변형은 미분가능하며, 이는 $p$-진 $L$-함수의 존재를 보장한다.
• 모듈로 $p$ 갈루아 표현이 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$를 포함할 경우 고유변형의 코homology는 중간 차수 $d$에 집중된다.
• 과수수렴 코homology에서 국소 해석적 분포로의 주기 사상은 아델식으로 정의되며, 특수값의 $p$-진 보간을 유지한다.
• 특수값 $\iota(\Lambda^{\mathrm{alg}}(\pi \otimes \theta, m+1))$는 특성 다양체 $\mathscr{X}(\Gamma_F)$를 통해 $p$-진 가족 전반에 걸쳐 보간된다.
• 변형 공간 $\mathfrak{t}_D^{\mathrm{Ref}}/H^1_f(\mathrm{ad}(D))$의 차원은 $2[K:\mathbf{Q}_p]$ 이하로 유계이며, 갈루아 변형의 기대 모듈러스 공간과 일치한다.