[논문 리뷰] On Packing Low-Diameter Spanning Trees

Julia Chuzhoy, Merav Parter외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 k-edge-connected 그래프에서 간선 분리 트리 패킹의 지름에 대해 처음으로 비자명한 상한과 하한을 확립한다. 임의의 지름 D인 k-edge-connected n-정점 그래프에 대해, 지름 O((101k log n)D)이고 간선 혼잡도 최대 2인 Ω(k)개의 간선 분리 스패닝 트리를 패킹할 수 있음을 보이며, 이는 매칭되는 하한을 통해 거의 최적임을 입증한다. 이러한 결과는 높은 간선 연결성과 저지름 네트워크에서 MST, 최소 컷, 안전 브로드캐스트에 대한 효율적인 분산 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Edge connectivity of a graph is one of the most fundamental graph-theoretic concepts. The celebrated tree packing theorem of Tutte and Nash-Williams from 1961 states that every k-edge connected graph G contains a collection 𝒯 of ⌊k/2⌋ edge-disjoint spanning trees, that we refer to as a tree packing; the diameter of the tree packing 𝒯 is the largest diameter of any tree in 𝒯. A desirable property of a tree packing for leveraging the high connectivity of a graph in distributed communication networks, is that its diameter is low. Yet, despite extensive research in this area, it is still unclear how to compute a tree packing of a low-diameter graph G, whose diameter is sublinear in |V(G)|, or, alternatively, how to show that such a packing does not exist. In this paper, we provide first non-trivial upper and lower bounds on the diameter of tree packing. We start by showing that, for every k-edge connected n-vertex graph G of diameter D, there is a tree packing 𝒯 containing Ω(k) trees, of diameter O((101k log n)^D), with edge-congestion at most 2. Karger’s edge sampling technique demonstrates that, if G is a k-edge connected graph, and G[p] is a subgraph of G obtained by sampling each edge of G independently with probability p = Θ(log n/k), then with high probability G[p] is connected. We extend this result to show that the diameter of G[p] is bounded by O(k^(D(D+1)/2)) with high probability. This immediately gives a tree packing of Ω(k/log n) edge-disjoint trees of diameter at most O(k^(D(D+1)/2)). We also show that these two results are nearly tight for graphs with a small diameter: we show that there are k-edge connected graphs of diameter 2D, such that any packing of k/α trees with edge-congestion η contains at least one tree of diameter Ω((k/(2α η D))^D), for any k,α and η. Additionally, we show that if, for every pair u,v of vertices of a given graph G, there is a collection of k edge-disjoint paths connecting u to v, of length at most D each, then we can efficiently compute a tree packing of size k, diameter O(D log n), and edge-congestion O(log n). Finally, we provide several applications of low-diameter tree packing in the distributed settings of network optimization and secure computation.

연구 동기 및 목표

• 높은 연결성 그래프에서 저지름 트리 패킹이 존재하는지 여부에 대한 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결하기 위해.
• k-edge-connected 그래프에서 간선 분리 트리 패킹의 지름에 대해 날카로운 상한과 하한을 확립하기 위해.
• 저지름, 높은 연결성 네트워크에서 MST, 최소 컷, 안전 브로드캐스트와 같은 기본 문제에 대한 효율적인 분산 알고리즘을 가능하게 하기 위해.
• 적대적인 간선 도청 상황에서 내성적으로 강건하고 혼잡도가 낮은 분산 시스템의 통신에 대한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• Karger의 간선 샘플링 기법을 활용하여, p = Θ(log n / k) 확률로 간선을 샘플링하면 고려할 만한 확률로 연결된 부분그래프 G[p]를 얻을 수 있음을 보임. 이 부분그래프의 지름은 O(kD(D+1)/2) 이하임.
• 샘플링된 부분그래프 G[p]의 지름이 O(kD(D+1)/2) 이하임을 증명함. 이는 지름 O(kD(D+1)/2)를 갖는 Ω(k / log n)개의 간선 분리 트리 패킹이 존재함을 의미함.
• d-독립적인 해시 함수와 Chernoff 한계를 사용하여 간선 샘플링의 농도를 분석하고, 낮은 혼잡도를 보장함.
• 적대적인 간선 도청 상황에서 일반적인 분산 알고리즘을 강건한 버전으로 변환하기 위해 (d, c, η, k) 사이클 커버를 구성함.
• 서브루틴의 병렬화와 전체 라운드 복잡도의 상한을 확보하기 위해 무작위 지연 기법을 적용함.
• 정보 이론적으로 안전한 보안 브로드캐스트 프로토콜을 구현하기 위해 k개의 낮은 지름 스패닝 트리에 걸쳐 k개의 비밀 공유를 분산 배포함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-edge-connected 그래프에서 지름이 n에 대해 비선형일 수 있는 Ω(k) 크기의 트리 패킹을 구성할 수 있는가, 특히 그래프의 지름 D가 작을 경우에 대해?
• RQ2 k-edge-connected 그래프에서 간선 분리 트리의 수, 그들의 지름, 간선 혼잡도 사이의 최선의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ3 트리 패킹에 대한 지름 상한 O((101k log n)D)는 최적인지, 아니면 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 상수 지름과 n^ε의 간선 연결성을 갖는 그래프에서 MST와 최소 컷에 대한 효율적인 분산 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 적대자가 O(k / log n)개의 간선을 도청할 수 있는 상황에서 정보 이론적으로 안전한 분산 브로드캐스트를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 k-edge-connected n-정점 그래프 중 지름 D를 갖는 그래프에 대해, 지름 O((101k log n)D)이고 간선 혼잡도 최대 2인 Ω(k)개의 트리 패킹이 존재한다.
• 모든 k-edge-connected n-정점 그래프 중 지름 D를 갖는 그래프에 대해, 간선 샘플링을 통해 고려할 만한 확률로 Ω(k / log n)개의 간선 분리 트리 패킹이 존재하며, 각 트리의 지름은 O(kD(D+1)/2) 이하이다.
• 상한은 거의 최적이다: 지름 2D인 k-edge-connected 그래프가 존재하며, 이 경우 k/α개의 트리 패킹과 혼잡도 η를 갖는 경우 반드시 지름 Ω((k/(2αηD))^D) 이상인 트리가 포함되어야 한다.
• 모든 정점 쌍 간에 길이 최대 D인 k개의 간선 분리 경로가 존재한다면, 지름 O(D log n)이고 혼잡도 O(log n)인 크기 k의 트리 패킹을 효율적으로 계산할 수 있다.
• n^ε의 간선 연결성과 상수 지름을 갖는 그래프에서 MST와 근사 최소 컷을 위한 o(√n)-라운드 알고리즘이 존재한다.
• 적대자가 O(k / log n)개의 간선을 도청할 수 있는 상황에서, 정보 이론적으로 안전한 보안 브로드캐스트 프로토콜이 존재하며, 이는 e^O((101k log n)D)라운드 내에 수행된다.