[논문 리뷰] On parabolic and elliptic equations with singular or degenerate coefficients

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 상반평면에서 계수 형태 $x_d^\alpha$를 가진 포물형 및 타원형 방정식의 해에 대한 존재성, 유일성, 정칙성을 확립한다. 여기서 $\alpha \in (-1, \infty)$이다. 가중 치수 소볼레프 공간과 혼합노름 가중 치수 소볼레프 공간을 사용하여, 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 국소 경계 가중 추정과 캘러존드-지그문트 유형 추정을 증명한다. 이는 기존 결과를 Muckenhoupt $A_2$ 조건을 만족하지 못하는 경우, 즉 $\alpha \geq 1$일 때까지 확장한다.

ABSTRACT

We study both divergence and non-divergence form parabolic and elliptic equations in the half space $\{x_d>0\}$ whose coefficients are the product of $x_d^α$ and uniformly nondegenerate bounded measurable matrix-valued functions, where $α\in (-1, \infty)$. As such, the coefficients are singular or degenerate near the boundary of the half space. For equations with the conormal or Neumann boundary condition, we prove the existence, uniqueness, and regularity of solutions in weighted Sobolev spaces and mixed-norm weighted Sobolev spaces when the coefficients are only measurable in the $x_d$ direction and have small mean oscillation in the other directions in small cylinders. Our results are new even in the special case when the coefficients are constants, and they are reduced to the classical results when $α=0$

연구 동기 및 목표

• 경계에서 특이하거나 비가역적인 계수를 가진 포물형 및 타원형 방정식의 해에 대한 존재성, 유일성, 정칙성을 확립한다. 특히 계수 형태가 $x_d^\alpha$이며 $\alpha \in (-1, \infty)$인 경우를 대상으로 한다.
• 기존의 캘러존드-지그문트 이론을 $x_d^\alpha$ 가중치가 Muckenhoupt $A_2$ 조건을 만족하지 못하는 경우, 즉 $\alpha \geq 1$일 때까지 확장한다.
• 계수에 대한 최소한의 스무스성 가정 하에, 가중 치수 소볼레프 공간과 혼합노름 가중 치수 소볼레프 공간에서의 정규형 및 노이만 경계값 문제를 분석한다.
• 분산형 및 비분산형 방정식에 대해 $x_d^\alpha$-가중 계수를 가진 경우의 국소 경계 가중 추정을 제공한다.
• 주어진 계수의 주요 구조 조건을 가진 비분산형 방정식으로 결과를 일반화하며, 분수계열 열과 라플라스 방정식, 금융수학 등 응용을 포함한다.

제안 방법

• 저자들은 경계 근처에서 특이하거나 비가역적인 계수를 다루기 위해, 측도 $x_d^\alpha \, dz$에 대한 가중 치수 소볼레프 공간을 사용한다. 여기서 $\alpha \in (-1, \infty)$이다.
• 역 헬더 부등식과 가중 피에르-스타인 및 하디-리틀우드 최대함수 정리에 기반한, 혼합노름 가중 치수 소볼레프 공간에서의 사전 추정을 통해 국소 경계 가중 추정을 확립한다.
• 분산형 방정식의 경우, 약한 해가 가중 설정에서 잘 정의되도록 보장하기 위해, 연속형 경계 조건인 $\lim_{x_d \to 0^+} x_d^\alpha (a_{dj} D_j u - F_d) = 0$를 사용한다.
• 비분산형 방정식의 경우, $a_{dj} = 0$ 또는 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$와 같은 구조 조건을 도입하여, 변수변환 후 분산형 유사한 구조로 환원할 수 있도록 한다.
• 핵심 기법으로는 작은 실린더에서의 평균 진동도 추정과 함께, 점차 증가하는 지수 $p_j$를 사용한 부스팅 추정 기법을 사용한다. 이는 $L^p$ 정칙성을 $p_0$에서 $p > p_0$로 확장한다.
• 증명은 가중 $L^p$ 추정에서 유도된 사전 추정에 기반하며, 해를 국소화하고 가중 $W^{1,2}_p$ 공간에서의 해법 가능성 결과를 적용하기 위해 캐럿 함수 $\eta$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 형태가 $x_d^\alpha$인 포물형 및 타원형 방정식에 대해, $\alpha \geq 1$일 때 가중치 $x_d^\alpha$가 Muckenhoupt $A_2$ 조건을 만족하지 못하는 경우에도 존재성, 유일성, 정칙성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 특히, 가중 및 혼합노름 소볼레프 공간이 해의 존재성과 정칙성에 적합한 함수 공간인가?
• RQ3 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에, 분산형 및 비분산형 방정식에 대해 $x_d^\alpha$-가중 계수를 가진 국소 경계 가중 추정은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 계수가 법선 방향에서만 측정 가능하고 탄성 방향에서 평균 진동도가 작을 경우, 캘러존드-지그문트 유형 추정을 비가역 계수를 가진 방정식으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 구조 조건 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$가 비가역 계수를 가진 비분산형 방정식 분석을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모형 방정식 $x_d^\alpha u_t - \textup{div}[x_d^\alpha(\nabla u - F)] = x_d^\alpha f$ 가 $Q_2^+$에서 성립할 때, 논문은 다음 국소 경계 가중 추정을 증명한다: $\left(\int_{Q_1^+} (|u|^p + |Du|^p) x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p} \leq N \int_{Q_2^+} (|u| + |Du|) x_d^\alpha \, dz + N \left(\int_{Q_2^+} |F|^p x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p} + N \left(\int_{Q_2^+} |f|^{p^*} x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p^*}$, 여기서 모든 $p \in (1, \infty)$에 대해 성립하며, $p^* \in [1, p)$는 $\alpha$, $p$, $d$에 따라 달라진다.
• 저자들은 계수가 $x_d$-방향에서만 측정 가능하고 다른 방향에서 평균 진동도가 작은 경우에도, 분산형 및 비분산형 방정식에 대해 가중 혼합노름 치수 소볼레프 공간에서 사전 추정을 확립한다.
• 가중 혼합노름 치수 소볼레프 공간에서의 해법 가능성은 사전 추정 (2.4)와 정리 2.2의 해법 가능성 결과에 기반한 근사화 방법을 통해 증명된다.
• 비분산형 방정식의 경우, $a_{dj} = 0$ 또는 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$이면, 방정식 $a_0 u_t - a_{ij} D_{ij} u - \frac{\alpha}{x_d} a_{dj} D_j u + \lambda c_0 u = f$ 와 노이만 유사 경계 조건 $\lim_{x_d \to 0^+} x_d^\alpha a_{dj} D_j u = 0$ 가 성립할 때, $a_0, c_0$와 $p$에 대한 적절한 조건 하에 $W^{1,2}_p$ 공간에서 유일한 해가 존재함을 증명한다.
• 논문은 지수의 수열 $p_j$를 사용한 부스팅 추정 기법을 제공한다. 여기서 $(d+3+\alpha_+)/p_{j-1} < 1 + (d+3+\alpha_+)/p_j$를 만족하며, 이는 $L^p$ 정칙성을 $p_0$에서 임의의 $p > p_0$로 확장할 수 있게 하며, 최종 추정 (2.7)을 도출한다. 이는 정리 2.9의推론에 해당한다.
• 상수 계수의 경우에도 이 결과들은 새로운 것으로 간주되며, $\alpha = 0$일 때 기존의 고전 결과를 일반화하여, 분수계열 PDE 및 금융수학 등 응용이 가능한 더 넓은 범위의 비가역 및 특이 PDE 이론으로 확장한다.