[논문 리뷰] On Parameter Estimation of Threshold Autoregressive Models

Ngai Hang Chan, Yury A. Kutoyants|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 18.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 확산 근사와 한계 우도비 이론을 활용하여 임계값 자동재귀(TAR) 모형에서 임계값 파라미터에 대한 베이지안 추정 프레임워크를 개발한다. 베이지안 추정량의 일致성, 점근 정규성 및 모멘트 수렴성을 확립하며, 한계 분포는 명시적 시뮬레이션을 통해 계산 가능하여 비선형 시계열 임계값에 대한 강력한 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper studies the threshold estimation of a TAR model when the underlying threshold parameter is a random variable. It is shown that the Bayesian estimator is consistent and its limit distribution is expressed in terms of a limit likelihood ratio. Furthermore, convergence of moments of the estimators is also established. The limit distribution can be computed via explicit simulations from which testing and inference for the threshold parameter can be conducted. The obtained results are illustrated with numerical simulations.

연구 동기 및 목표

• TAR 모형에서 임계값 파라미터에 대한 일반적인 점근 이론을 개발하기 위해.
• 비표준 점근 설정 하에서 베이지안 추정량의 일치성과 모멘트 수렴성을 확립하기 위해.
• 복합 포아송 과정을 이용한 한계 분포의 시뮬레이션을 통한 계산 가능 방법을 제공하기 위해.
• 비선형 시계열에서 기존의 비표준 점근 기법을 확산 과정 기반의 통합 프레임워크로 확장하기 위해.
• 한계 우도비의 명시적 시뮬레이션을 통해 실용적인 가설 검정과 임계값에 대한 추론을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 임계값 자동재귀 과정을 연속시간 확산 과정으로 모델링하여, 시계열의 불변 밀도를 한계 복합 포아송 과정의 강도와 연결한다.
• 한계 우도비를 이용하여 베이지안 추정량의 한계 분포를 도출하며, 이는 복합 포아송 과정에 의해 지배되는 점프를 갖는 랜덤 과정으로 표현된다.
• 이 방법은 불변 밀도에 대한 적분 방정식을 풀고, 이를 한계 과정의 강도와 연결하여 한계 우도를 명시적으로 계산한다.
• 시뮬레이션을 통해 한계 분포를 계산하여 임계값 추론을 위한 수치적 평가인 임계값과 p-값을 산출한다.
• 이 방법은 한쪽 방향 임계값 설정으로 확장되며, 정규 조건 하에서 비정규 오차에 일반화된다.
• 이론적 결과는 특히 유한차원 분포 수렴과 균일한 모멘트 수렴을 포함한 확률 과정 이론에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 점근 조건 하에서 TAR 모형의 임계값 파라미터에 대한 베이지안 추정량이 일치성과 점근 정규성을 갖는다고 보일 수 있는가?
• RQ2 실용적 추론을 위해 베이지안 추정량의 한계 분포를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 임계값 추정의 맥락에서 한계 우도비와 한계 복합 포아송 과정 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 베이지안 추정량의 모멘트 수렴성을 컴act 파rameter 집합 전역에서 균일하게 확립할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 비정규 오차 분포와 한쪽 방향 임계값 모형으로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 베이지안 추정량은 일치성이 있으며, 그 한계 분포는 한계 우도비로 특징지어지며, 이는 시뮬레이션을 통해 명시적으로 계산 가능하다.
• 베이지안 추정량의 두 번째 모멘트 수렴성이 확립되었으며, 특이 추정 문제에서 최대우도추정량보다 한계 분산이 더 작다는 게 입증되었다.
• 추정량의 한계 분포는 임계값에서의 불변 밀도 비례하는 강도를 갖는 복합 포아송 과정에서 유도되며, $ \lambda = 2f(\vartheta, \vartheta) $ 로 표현된다.
• 한계 분산이 리스크의 하한을 달성함으로써 베이지안 추정량의 점근 효율성이 확인되었으며, 이 하한은 $ \mathbb{E}_{\vartheta_0}(\tilde{u})^2 $ 로 표현된다.
• 이 방법은 실용적 추론을 가능하게 하며, 임계값 검정을 위한 임계값과 p-값을 한계 과정의 시뮬레이션을 통해 계산할 수 있다.
• 이 프레임워크는 비정규 오차 분포와 한쪽 방향 임계값 모형으로 일반화되며, 동일한 이론적 기반을 바탕으로 유사한 한계 분포를 도출할 수 있다.