[논문 리뷰] On parametric Thue-Morse Sequences and Lacunary Trigonometric Products

Christoph Aistleitner, Roswitha Hofer외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 24.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 테우-모르스 수열의 지수 합과 모듈로 1에서의 불균형도에 대한 날카운 메트릭 추정치를 도출하며, 이는 형태 $\prod_{\ell=0}^L |\sin \pi 2^\ell \alpha|$ 의 희박한 삼각함수 곱과 연결된다. 거의 모든 $\alpha$ 에 대해 $\{n_k \alpha\}$ 의 불균형도는 $N^{-0.6178775}$ 의 속도로 증가함을 증명하고, 메트릭 디오판틴 대수 approximation과의 명시적 유사성과 함께, 이 수열에 대한 균일 분포 이론에서 오랫동안 남아있던 과제를 해결한다.

ABSTRACT

One of the fundamental theorems of uniform distribution theory states that the fractional parts of the sequence $(n α)_{n \geq 1}$ are uniformly distributed modulo one (u.d. mod 1) for every irrational number $α$. Another important result of Weyl states that for every sequence $(n_k)_{k \geq 1}$ of distinct positive integers the sequence of fractional parts of $(n_k α)_{k \geq 1}$ is u.d. mod 1 for almost all $α$. However, in this general case it is usually extremely difficult to classify those $α$ for which uniform distribution occurs, and to measure the speed of convergence of the empirical distribution of $(\{n_1 α\}, ..., \{n_N α\})$ towards the uniform distribution. In the present paper we investigate this problem in the case when $(n_k)_{k \geq 1}$ is the Thue--Morse sequence of integers, which means the sequence of positive integers having an even sum of digits in base 2. In particular we utilize a connection with lacunary trigonometric products $\prod^{L}_{\ell=0} |\sin π2^{\ell} α|$, and by giving sharp metric estimates for such products we derive sharp metric estimates for exponential sums of $(n_{k} α)_{k \geq 1}$ and for the discrepancy of $(\{n_{k} α\})_{k \geq 1}.$ Furthermore, we comment on the connection between our results and an open problem in the metric theory of Diophantine approximation, and we provide some explicit examples of numbers $α$ for which we can give estimates for the discrepancy of $(\{n_{k} α\})_{k \geq1}$.

연구 동기 및 목표

• 무리수 $\alpha$ 에 대해 테우-모르스 수열 $\{n_k \alpha\}$ 의 불균형도와 지수 합을 분석하는 것.
• 희박한 삼각함수 곱과의 연결을 통해 테우-모르스–크로네커 수열의 불균형도와 지수 합에 대한 날카운 메트릭 추정치를 수립하는 것.
• 불균형도가 $\alpha$ 의 디오판틴 대수 approximation 성질과 이진 숫자 구조에 어떻게 의존하는지 조사하는 것.
• 메트릭 디오판틴 대수 approximation의 열린 문제, 특히 가측 집합에 대한 일반화된 보렐–칸텔리 문제와 결과를 연결하는 것.

제안 방법

• 지수 합과 불균형도를 유계화하기 위한 핵심 분석 도구로 형태 $\prod_{\ell=0}^L |\sin \pi 2^\ell \alpha|$ 의 희박한 삼각함수 곱을 사용하는 것.
• 기하학적 수론 기법, 특히 보렐–칸텔리 추론과 측도론적 추정치를 적용하여 거의 모든 $\alpha$ 에 대해 유계를 도출하는 것.
• 테우-모르스 수열의 자기유사적 구조를 블록 빈도 분석과 숫자 패턴의 재귀적 분해를 통해 활용하는 것.
• 테우-모르스 수열에서 8-블록의 빈도 분포를 이용해 곱 $\prod_{\ell=0}^L |2\sin \pi 2^\ell \gamma|$ 의 상한과 하한을 도출하는 것.
• 웨일의 기준과 코크스마 부등식을 사용해 지수 합과 불균형도를 연결함으로써 정량적 추정치를 가능하게 하는 것.
• 기존의 삼각함수 곱과 그 메트릭 행동에 대한 결과를 활용하여 불균형도 문제를 희박한 곱의 성장률 분석으로 환원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 모든 $\alpha$ 에 대해 테우-모르스–크로네커 수열 $\{n_k \alpha\}$ 의 불균형도 $D_N^*$ 의 정확한 메트릭 감쇠 속도는 무엇인가요?
• RQ2 거의 모든 $\alpha$ 에 대해 $L^2$-기준에서 지수 합 $\sum_{k=1}^N e^{2\pi i n_k \alpha}$ 는 어떻게 행동하며, 이는 희박한 삼각함수 곱과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 테우-모르스 수열의 구조와 2진수 표현을 이용해 불균형도에 대한 날카운 메트릭 추정치를 도출할 수 있나요?
• RQ4 테우-모르스 수열의 불균형도는 메트릭 디오판틴 대수 approximation의 열린 문제, 특히 일반화된 보렐–칸텔리 문제와 어떻게 연결될 수 있나요?

주요 결과

• 거의 모든 $\alpha$ 에 대해 테우-모르스–크로네커 수열의 불균형도는 $N D_N^* \asymp N^{0.6178775}$ 를 만족하며, 이 지수는 테우-모르스 수열에서 8-블록의 빈도에서 유도된다.
• 큰 $L$ 에 대해 $N = 2^L$ 이면 희박한 곱 $\prod_{\ell=0}^L |2\sin \pi 2^\ell \gamma|$ 는 $N^{0.6178775}$ 와 $N^{0.6178777}$ 사이로 유계된다.
• 논문은 희박한 삼각함수 곱의 성장과의 연결을 통해 $\{n_k \alpha\}$ 의 지수 합에 대한 날카운 메트릭 추정치를 수립한다.
• 이진 숫자 구조와 $\alpha$ 의 디오판틴 대수 approximation 성질에 기반한, $\{n_k \alpha\}$ 의 불균형도를 추정할 수 있는 명시적 예시들이 제시된다.
• 결과들은 메트릭 디오판틴 대수 approximation의 열린 문제와 연결된다: $[0,1]$ 의 가측 집합 $A_n$ 에 대해 $\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}_{A_n}(n\alpha) = \infty$ 가 거의 확실히 성립하는 조건은 무엇인가요?