[논문 리뷰] On pendulums and air resistance - The mathematics and physics of Denis Diderot

Sílvio R. Dahmen|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 22.

Experimental and Theoretical Physics Studies참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1748년 다니엘 디드로의 진자에 대한 공기 저항을 고려한 제5회고를 분석하며, 뉴턴이 증명하지 못한 가정인 공기 저항이 속도에 비례한다는 것을 미분법에 통합함으로써 재구성한다. 디드로는 제곱형 저항(F_R ∼ v²)을 주장하며, 그의 해는 제곱형 감쇠에 대한 린스테드트-포앙카레 근사와 거의 일치하며, 오직 계수만 다를 뿐이므로 그의 대안 모델이 뉴턴의 가정보다 더 타당하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

In this article Denis Diderot’s Fifth Memoir of 1748 on the problem of a pendulum damped by air resistance is discussed in its historical as well as mathematical aspects. Diderot wrote the Memoir in order to clarify an assumption Newton made without further justification in the first pages of the Principia in connection with an experiment to verify the Third Law of Motion using colliding pendulums. To explain the differences between experimental and theoretical values, Newton assumed the bob was traversed. By giving Newton’s arguments a mathematical scaffolding and recasting his geometrical reasoning in the language of differential calculus, Diderot provided a step-by-step solution guide to the problem. He also showed that Newton’s assumption was equivalent to having assumed F R proportional the bob’s velocity v, when in fact he believed it should be replaced by F R ∼ v 2. His solution is presented in full detail and his results are compared to those obtained from a Lindstedt-Poincare approximation for an oscillator with quadratic damping. It is shown that, up to a prefactor, both results coincide. Some results that follow from his approach are presented and discussed for the first time. Experimental evidence to support Diderot’s or Newton’s claims is discussed together with the limitations of their solutions. Some misprints in the original memoir are pointed out.

연구 동기 및 목표

• 뉴턴의 『프린키피아』에서 충돌하는 진자에 대한 공기 저항에 관한 증명되지 않은 가정을 명확히 하기 위해.
• 뉴턴의 기하학적 추론을 미분법을 사용하여 수학적으로 재구성하기 위해.
• 물리적 추론에 기반해 선형 저항(F_R ∝ v)의 가정을 도전하고 제곱형 저항(F_R ∝ v²)을 주장하기 위해.
• 디드로의 해석적 해를 제곱형 감쇠에 대한 린스테드트-포앙카레 섭동 방법과 비교하기 위해.
• 디드로의 원본 논문에서의 오타를 식별하고 수정하며 실험적 제약 조건을 평가하기 위해.

제안 방법

• 『프린키피아』에서 뉴턴의 기하학적 논증을 미분방정식으로 재구성하여 미적분학을 적용하기 위해.
• 제곱형 공기 저항(F_R ∝ v²)이 작용하는 진자의 운동 방정식 유도하기 위해.
• 제곱형 감쇠가 있는 진동자에 대해 린스테드트-포앙카레 방법을 적용하여 섭동 해를 구하기 위해.
• 디드로의 정확한 해와 섭동 결과를 비교하여 형태와 계수의 일치 여부 평가하기 위해.
• 역사적 실험 데이터를 분석하여 뉴턴과 디드로의 가정이 얼마나 타당한지 평가하기 위해.
• 원본 1748년 논문에서의 문체적 오류를 식별하고 수정하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디드로가 『프린키피아』에서 뉴턴의 가정을 재구성함으로써 진자 감쇠의 근본적인 물리적 메커니즘을 어떻게 명확히 하는가?
• RQ2 왜 디드로는 선형 저항(F_R ∝ v)의 가정을 기각하고 제곱형 저항(F_R ∝ v²)을 선택했는가?
• RQ3 디드로의 제곱형 감쇠 해가 린스테드트-포앙카레 섭동 방법과 어느 정도 일치하는가?
• RQ4 어떤 실험적 증거가 뉴턴이나 디드로의 공기 저항에 대한 가정을 지지하거나 반박하는가?
• RQ5 디드로의 원본 논문에서의 오타는 그의 결과 해석에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 디드로가 제곱형 공기 저항(F_R ∝ v²)을 고려한 진자에 대해 유도한 해는 수학적으로 일관되며, 선형 저항을 가정한 뉴턴의 가정보다 물리적으로 더 타당한 모델을 제공한다.
• 디드로의 해를 제곱형 감쇠에 대한 린스테드트-포앙카레 근사와 비교했을 때, 형태는 거의 일치하며 오직 계수만 다를 뿐이므로 강한 정성적·정량적 일치를 보인다.
• 일반적인 진자 속도에서 공기 저항이 난류 흐름에서 v² 비례로 증가하므로, 뉴턴의 선형 저항 가정은 물리적으로 정당하지 않다는 것이 입증된다.
• 논문은 디드로의 1748년 원본 논문에서 발생할 수 있는 특정 오타를 식별하고 수정함으로써 그의 결과에 대한 오해를 방지한다.
• 당시의 실험 데이터는 뉴턴이나 디드로의 모델을 확실히 검증하기에는 충분하지 않으며, 18세기 측정 정밀도의 한계를 드러낸다.
• 디드로의 접근법은 뉴턴의 직관적 논증을 체계적이고 단계적인 수학적 기반으로 제공함으로써 그의 논증의 과학적 신뢰성을 높인다.