[논문 리뷰] On perpetuities related to the size-biased distributions

Alexander Iksanov|ArXiv.org|2002. 09. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $A$와 $\eta$가 독립일 때 분포 방정식 $\eta_{sb} \overset{d}{=} A\eta_{sb} + \eta$를 통해 크기 편향 분포와 연결된 영속성의 존재 및 유일성을 위한 필요 및 충분 조건을 설정한다. 핵심 결과는 비퇴화 해가 존재하는 것은 $\mathbb{E}[\log A] < 0$이면서, 그 해는 척도를 제외하고 유일하다는 것이다. 분석은 포아송 샷 노이즈 변환의 고정점에 기반하며, 해의 분포에 대한 무한 가datable성, 모멘트 조건, 꼬리 행동을 규명한다.

ABSTRACT

We study perpetuities of a special type related to the size-biased distributions. Necessary and sufficient conditions of their existence and uniqueness are obtained. A crucial point in proving all results is a close connection between perpetuities treated in the paper and fixed points of so-called Poisson shot noise transforms.

연구 동기 및 목표

• 분포 방정식 $\eta_{sb} \overset{d}{=} A\eta_{sb} + \eta$ 에 대한 비퇴화 해의 존재 및 유일성을 특성화하는 것. 여기서 $\eta_{sb}$ 는 $\eta$ 의 크기 편향 버전이다.
• 이 방정식의 해와 포아송 샷 노이즈 변환의 고정점 사이의 관계를 설정하는 것.
• 해의 분포가 무한 가datable하고 유한한 모멘트 또는 지수 모멘트를 가지는 조건을 규명하는 것.
• 분포의 지지 집합과 $A$ 의 모멘트 성질에 기반하여 해의 꼬리 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 분석은 $\mathcal{P}_m^+$ 위에서 정의된 포아송 샷 노이즈 변환 $\mathbb{U}_{\rho}$ 를 사용한다. 이는 분포 $\theta$ 를 $\mathcal{L}(A X_{sb})$ 와의 콘볼루션을 통해 새로운 측도로 매핑한다. 여기서 $X_{sb}$ 는 $X \sim \theta$ 의 크기 편향 버전이다.
• 해의 존재는 $\mathbb{U}_{\rho}$ 의 고정점 존재와 연결되며, $A$ 에 대한 모멘트 조건 하에서 완비 거리 공간 $(\mathcal{P}_m^+(q), r_q)$ 에서 수축 사상 원리를 적용한다.
• 거리 $r_q(\nu_1, \nu_2)$ 는 특성 함수 차이의 적분을 통해 정의되며, 완비성과 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 해 $\mu = \mathcal{L}(\eta)$ 는 레비 측도 $M(dx) = x^{-1} \mathcal{L}(A\eta_{sb})(dx)$ 와 이동 없이 무한 가datable임을 보이며, $x^{-1}\rho(dx)$ 가 영 근처에서 적분 가능하면 복합 포아송임을 규명한다.
• 지수 모멘트의 유한성은 조건 $\text{esssup } \rho \leq 1$ 을 통해 분석되며, $\text{esssup } \rho < 1$ 이면 전체 특성 함수가 존재함을 보인다.
• 모멘트 문제를 통해 $\mathcal{L}(\eta)$ 가 그 모멘트로 유일하게 결정됨은 $A \in (0,1]$ 거의 확실히 성립할 때이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포 방정식 $\eta_{sb} \overset{d}{=} A\eta_{sb} + \eta$ 가 비퇴화 해를 가지기 위한 조건은 무엇인가? $\eta$ 에 대해.
• RQ2 해 $\mu = \mathcal{L}(\eta)$ 는 포아송 샷 노이즈 변환의 고정점과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 해 $\mu$ 가 순서 $p > 0$ 의 유한 모멘트를 가지기 위한 $A$ 에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 해 $\mu$ 가 유한한 지수 모멘트 또는 전체 특성 함수를 가지는 경우는 언제인가?
• RQ5 해 $\mu$ 는 그 모멘트로 유일하게 결정되는가? 이는 $A$ 의 분포에 대해 무엇을 시사하는가?

주요 결과

• 비퇴화 해 $\mu = \mathcal{L}(\eta)$ 가 존재하는 것은 $\mathbb{E}[\log A] < 0$ 이며, 주어진 평균 $m > 0$ 에 대해 척도를 제외하고는 유일하다.
• 해 $\mu$ 는 레비 측도 $M(dx) = x^{-1} \mathcal{L}(A\eta_{sb})(dx)$ 와 이동 없이 무한 가datable이며, $x^{-1}\rho(dx)$ 가 영 근처에서 적분 가능하면 복합 포아송이다.
• 만약 어떤 $p > 0$ 에 대해 $\mathbb{E}[A^p] < 1$ 이면 $\mathbb{E}[\eta^{1+p}] < \infty$ 이고, $q \in (1,2)$ 와 $g(q-1) < 1$ 인 경우, $\mu$ 는 완비 거리 공간 $(\mathcal{P}_m^+(q), r_q)$ 에서 $\mathbb{U}_{\rho}$ 의 유일한 고정점이다.
• 해 $\mu$ 가 유한한 지수 모멘트를 가지는 것은 $\text{esssup } \rho \leq 1$ 과 동치이며, $\text{esssup } \rho < 1$ 이면 $\mu$ 는 전체 특성 함수를 가진다.
• 해 $\mu$ 가 그 모멘트로 유일하게 결정되는 것은 $A \in (0,1]$ 거의 확실히 성립할 때이며, 이는 모든 $p > 0$ 에 대해 $\mathbb{E}[A^p] < 1$ 과 동치이다.
• 해 $\mu$ 는 모멘트 재귀식 $\mathbb{E}[\eta^{n+1}] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mathbb{E}[A^k] \mathbb{E}[\eta^{k+1}] \mathbb{E}[\eta^{n-k}]$ 을 만족하며, $\eta$ 와 $A$ 의 모멘트를 연결한다.