[논문 리뷰] On planar self-similar sets with a dense set of rotations

Kemal Ilgar Eroğlu|ArXiv.org|2006. 03. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유사성 변환의 정의에 따라 회전이 밀도를 이룬 평면 자기유사 집합에 대해, 그 유사성 차원 γ에 해당하는 γ-차원 하우스도르프 측도를 가진 수직 투영이 0임을 증명한다. 수정된 이중화 방법과 커버링 기법을 사용하여, 특히 유사성 차원이 1이고 회전 각도가 π의 디오판틴 승수인 경우, 이러한 집합의 ρ-근접집합의 파바르드 길이에 대해 로그 감쇠 상한을 확립한다. 이 결과는 매티라가 제기한 질문을 해결하며, 이러한 집합에 대해 이전에 알려진 지수 감쇠보다 더 나은 상한을 제공하는 최초의 사례이다.

ABSTRACT

We prove that if $E$ is a planar self-similar set with similarity dimension $d$ whose defining maps generate a dense set of rotations, then the $d$-dimensional Hausdorff measure of the orthogonal projection of $E$ onto any line is zero. We also prove that the radial projection of $E$ centered at any point in the plane also has zero $d$-dimensional Hausdorff measure. Then we consider a special subclass of these sets and give an upper bound for the Favard length of $E(ρ)$ where $E(ρ)$ denotes the $ρ$-neighborhood of the set $E$.

연구 동기 및 목표

• 밀도 있는 회전을 가진 평면 자기유사 집합의 수직 및 반사 투영 성질을 조사한다.
• 매티라가 제기한 질문에 대해, 이러한 집합의 수직 투영이 양의 γ-차원 하우스도르프 측도를 가질 수 있는 조건을 규명한다.
• 유사성 차원이 1이고 디오판틴 회전 각도를 가진 동차 자기유사 집합의 ρ-근접집합의 파바르드 길이에 대한 상한을 확립한다.
• 회전 대칭이 밀도적이거나 무리수일 때 자기유사 집합의 투영 행동을 이해를 확장한다.
• 비정규 자기유사 1-집합에서 파바르드 길이에 대해 지수 감쇠보다 더 나은 상한을 제공하는 최초의 알려진 결과를 제시한다.

제안 방법

• 밀도 있는 회전 구조를 활용하기 위해 수정된 '이중화' 방법을 사용하여, 작고 작은 복제본이 여러 방향으로 정렬됨을 보인다.
• 반복 함수 체계의 단어 집합을 목표 투영 방향과 밀접하게 정렬되는 것과 그렇지 않은 것으로 분할한다.
• 바이탈리 커버링 정리를 적용하여 잘 정렬된 복제본의 투영 측도를 제어하여 2^(-n) 감쇠 상한을 도출한다.
• 나쁜 정렬도를 가진 복제본의 수를 m^{L_n}(1 - m^{-s(n)})^{m^{s(n)}}를 통해 추정하여, e^{-s(n)} 상한을 얻는다.
• s(n)과 L_n를 log(-log ρ_n)로 표현함으로써 ρ_n과 감쇠율을 연결하여, 로그 감쇠 상한을 가능하게 한다.
• 디오판틴 근사법을 활용하여 유리수 근사로부터 각도를 피함으로써 감쇠율 추정에 필수적인 조건을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 평면 자기유사 집합의 수직 투영이 γ-차원 하우스도르프 측도를 0으로 가지는가? 여기서 γ는 유사성 차원이다.
• RQ2 정의에 사용된 유사성 변환에서의 회전 각도의 밀도가 투영의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 유사성 차원이 1이고 무리수 회전을 가진 자기유사 집합의 ρ-근접집합의 파바르드 길이에 대해 비자명한 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 회전 각도의 디오판틴 성질이 파바르드 길이 감쇠율에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비정규 자기유사 1-집합에서 파바르드 길이에 대해 지수 감쇠보다 더 나은 감쇠율을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 유사성 차원 γ에 해당하는 γ-차원 하우스도르프 측도로, 임의의 직선에 대한 이러한 자기유사 집합 E의 수직 투영의 측도는 0이다. 단, 회전이 2π 모듈로 밀도를 이룰 경우에 한한다.
• 평면의 임의의 점을 중심으로 한 E의 반사 투영 역시 γ-차원 하우스도르프 측도가 0이다.
• 유사성 차원이 1이고 두 개의 비회전 맵, 디오판틴 회전 각도를 가진 동차 자기유사 집합의 경우, ρ-근접집합의 투영에 대한 르베그 측도는 θ에 관하여 균일하게 L^1(E^θ(ρ)) ≤ A / (log(-log ρ))^B 를 만족한다.
• E(ρ)의 파바르드 길이는 πA / (log(-log ρ))^B 로 상한이 주어지며, 이는 이전에 알려진 지수 감쇠 상한보다 더 나은 로그 감쇠율을 보여준다.
• 감쇠 지수 B는 임의의 δ > 0에 대해 1 / ((1+δ)k(d+1)log m)로 명시적으로 추정할 수 있으며, 특히 (1+√2)π로의 회전 예제에서는 B = log 2 / (3.3 log 3)이다.
• 이 결과는 파바르드 길이 감쇠율이 일반적인 exp(-a log_*(1/ρ)) 상한보다 개선된 클래스의 자기유사 집합에 대해 최초로 확립한 것이다.