[논문 리뷰] On plurisubharmonicity of the solution of the Fefferman equation and its applications to estimate the bottom of the spectrum of Laplace-Beltrami operators

Song-Ying Li|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 06.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초-다중볼록 도메인(super-pseudoconvex domains)의 개념을 제안하고, 도메인이 초-다중볼록일 때이고 그저 그때에만 페퍼만 방정식의 해가 다중하모닉(plurisubharmonic)임을 증명한다. 응용으로, 리와 왕(Li and Wang, 2015)의 결과를 활용하여 이러한 도메인에서 라플라스-베르트라미 연산자의 스펙트럼의 하한에 하한을 설정한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a concept of super-pseudoconvex domain. We prove that the solution of the Feffereman equation on a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain $D$ in $\CC^n$ is plurisubharmonic if and only if $D$ is super-pseudoconvex. As an application, we give a lower bound estimate the bottom of the spectrum of Laplace-Beltrami operators when $D$ is super-pseudoconvex by using the result of Li and Wang \cite{LiWang}.

연구 동기 및 목표

• 페퍼만 방정식의 해가 다중하모닉이 되는 도메인을 특성화하는 것.
• 엄밀히 다중볼록 도메인에서 초-다중볼록성의 기하적 성질을 정의하고 분석하는 것.
• 다중하모닉성 결과를 활용하여 라플라스-베르트라미 연산자의 스펙트럼의 하한을 추정하는 것.
• 페퍼만 계량과 켈러-아인슈타인 기하학을 이용하여 알려진 스펙트럼 추정 결과를 확장하는 것.
• 도메인의 경계에서 웹스터-탄다 pseudo-Ricci 곡률의 양성에 대한 충분조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 경계 정의 함수에 대한 기하학적 및 해석적 조건을 통해 초-다중볼록 도메인의 개념을 도입한다.
• ρ = -e^(-u)를 사용하여 det J(ρ) = 1인 페퍼만 방정식을 통해 해 u가 켈러-아인슈타인 계량과 관련됨을 나타낸다.
• 리와 멜로즈(Lee and Melrose)의 결과를 활용하여 ρ의 경계 근처에서의 점근적 전개를 적용하여 정(regularity)과 곡률을 분석한다.
• ρ의 헤시안과 자코비안 J(ρ)를 사용하여 ∂D 상의 의사-리치 곡률 공식을 유도한다.
• 경계에서 Hessian와 곡률 비교를 통해 ρ의 다중하모닉성에 대한 기준을 수립한다.
• |z_k|^2와 곡률 항을 포함하는 테스트 함수 구성법을 통해 초-다중볼록 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀히 다중볼록 도메인에서 페퍼만 방정식의 해 ρ가 다중하모닉이 되는 기하적 조건은 무엇인가?
• RQ2 도메인의 초-다중볼록성과 ρ의 다중하모닉성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 페퍼만 계량을 사용하여 라플라스-베르트라미 연산자의 스펙트럼 하한을 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ4 ∂D에서 어떤 곡률 조건이 웹스터-탄다 의사-리치 곡률의 양성을 보장하는가?
• RQ5 리와 왕의 스펙트럼 추정 결과는 엄밀히 볼록하지 않은 초-다중볼록 도메인으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 페퍼만 방정식의 해 ρ가 D의 폐포 D̅에서 다중하모닉이 되는 것은 D가 초-다중볼록일 때이고 그때에만 성립한다.
• 초-다중볼록성은 정의 함수의 헤시안과 그 복소 헤시안을 포함하는 곡률 부등식으로 특성화된다.
• n ≥ 2 이고 α ≤ 21/20 이면, 곡률 표현식 Ẽ(r)가 음이 아닌 경우 도메인 D는 엄밀히 초-다중볼록이다.
• 라플라스-베르트라미 연산자의 스펙트럼 하한은 n과 D의 기하학적 성질에 따라 정해지는 양수 상한에 의해 아래로 유계이다.
• 스펙트럼 하한은 초-다중볼록 조건과 리와 왕(2015)의 방법을 통해 도출된다.
• 이 결과는 단위 구와 실타원체에서의 이전 스펙트럼 추정을 더 넓은 범주인 도메인으로 일반화한다.