[논문 리뷰] On Poincaré, Friedrichs and Korns inequalities on domains and hypersurfaces

Duduchava Roland|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 06.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐의 개방사상정리에 기반하여 도메인과 초표면에서 새로운 파oincaré, 프리드리히스, 그리고 코른 유형 부등식을 수립한다. 실린더형 도메인에 대해서는 전체 기울기 대신 표면 기울기만으로 함수의 $ L_p $-노름을 제어할 수 있는 더 강력한 부등식을 증명하며, 변형 텐서와 경계 함수형식을 통해 벡터장과 고차원 소볼레프 공간으로의 고전적 결과의 일반화를 날카롭게 한 Estimates를 제시한다.

ABSTRACT

The celebrated Poincaré and Friedrichs inequalities estimate the $\mathbb{L}_p$-norm of a function by the $\mathbb{L}_p$-norm of the gradient. We prove the Poincaré inequality for a domain $Ω\subset \mathbb{R}^n$ and for a hypersurface $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$ based on open mapping theorem of Banach only. For a cylinder which has a hypersurface as a base, is prove stronger inequality, involving only the surface derivatives. Similar inequalities for the uniform $C$-norm are proved as well. We also estimate $\mathbb{H}^m_p$-norm of functions prove inequalities for some generalizations of the mentioned inequalities. We also prove Poincaré-Korns and Friedrichs-Korns inequalities for vector-func\-ti\-ons estimating the $\mathbb{L}_p$-norm of a function by the $\mathbb{L}_p$-norm of the deformation tensor only on domains and on hypersurfaces. The proofs are based on the paper \cite{Du10} of the author on Korns inequalities. And again, the norm of the function in a cylinder is estimated by is the deformation tensor on the base of the cylinder.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 기하학적 가정 하에 고전적 파oincaré 및 프리드리히스 부등식을 초표면과 실린더형 도메인으로 확장하기.
• 전체 기울기 노름을 피하고 표면 기울기 또는 변형 텐서에 기반한 함수 및 벡터장에 대한 $ L_p $-노름 추정을 수립하기.
• 경계 함수형식과 임bedding 정리를 사용하여 고차원 소볼레프 공간 $ W^m_p $ 로 이러한 부등식을 일반화하기.
• 벡터장에 대한 파oincaré-코른 및 프리드리히스-코른 부등식을 증명하여, 도메인과 초표면에서 $ L_p $-노름을 변형 텐서만으로 추정하기.
• 특히 개방사상정리와 칼링 필드의 고유계속성과 같은 기능해석학적 도구를 통해 기존 부등식들을 통합하고 강화하기.

제안 방법

• 바나흐의 개방사상정리를 사용하여 $ W^1_p $ 에서 $ W^1_p / \text{상수} $ 로의 몫사상에 적용함으로써 실린더 도메인 $ \bar{\text{dom}} \times [a,b] $ 에서의 파oincaré 및 프리드리히스 부등식을 유도한다.
• 표면 기울기 $ \nabla_{\text{C}} $ 와 $ \bar{\text{M}}_0 \times [a,b] $ 에서의 경계 적분에 기반한 새로운 노름을 도입하고, 개방사상정리를 통해 표준 노름과의 동치성을 증명한다.
• 경계 정리와 소볼레프 임베딩 $ \bW^{m-1/p}_p(\bar{\text{M}}_0) \to \bL_p(\bar{\text{M}}_0) $ 을 적용하여 부등식 추정에서 경계 함수형식을 제어한다.
• 변형 텐서에 대한 해인 $ \text{Def}_{\text{C}} \bU = 0 $ (칼링 필드) 의 고유계속성 성질을 이용하여, 초표면에서 표면 기울기만으로도 변형 텐서에 의존하는 부등식을 증명한다.
• $ \text{Def} \bU $ 와 경계 자료를 사용하여 $ \bW^1_p $-공간에서 등가 노름을 구성한 후, 개방사상정리를 적용하여 역부등식을 도출한다.
• 고차원 부등식은 $ m-1 $ 차 미분의 경계 값의 $ L_p $-노름으로 정의된 기능 $ F(\bvarphi) $ 를 통해 증명하며, 경계 정리를 통해 유계성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 기울기를 사용하지 않고 표면 기울기와 경계 자료만을 사용하여 초표면에서 파oincaré 및 프리드리히스 부등식을 증명할 수 있는가?
• RQ2 일부 부분집합에서의 표면 기울기와 경계에서의 적분 값만으로도 초표면 위 실린더에서 함수의 $ L_p $-노름을 추정할 수 있는가?
• RQ3 벡터장에 대해 파oincaré-코른 및 프리드리히스-코른 부등식을 증명할 수 있으며, $ L_p $-노름을 변형 텐서만으로 추정할 수 있는가?
• RQ4 고차원 소볼레프 노름은 도메인과 초표면에서 경계 함수형식과 표면 기울기와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 칼링 필드의 고유계속성은 초표면에서 변형 텐서만을 포함하는 부등식을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 실린더 $ \text{C} \times [a,b] $ 에서 새로운 파oincaré 부등식이 증명되었으며, $ \bvarphi $ 의 $ L_p $-노름은 횡방향 도함수에 의존하지 않고 표면 기울기 $ \nabla_{\text{C}} \bvarphi $ 의 $ L_p $-노름과 $ \bar{\text{M}}_0 $ 에서의 경계 적분으로 유계이다.
• 부분집합 $ \bar{\text{M}}_0 = \bar{\text{C}}_0 \times [a,b] $ 에서 0이 되는 함수에 대해서는 $ L_p $-노름이 표면 기울기만으로 제어된다: $ \big\braceVert \bvarphi \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} \neq C \big\braceVert \nabla_{\text{C}} \bvarphi \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} $.
• 초표면 $ \text{C} $ 에서 파oincaré 부등식 $ \big\braceVert \bvarphi - \bvarphi_{\text{C}} \big\braceVert_{L_p(\text{C})} \neq C \big\braceVert \nabla_{\text{C}} \bvarphi \big\braceVert_{L_p(\text{C})} $ 가 성립하며, 바나흐의 개방사상정리를 통해 증명되었다.
• 벡터장에 대해서는 초표면에서 파oincaré-코른 부등식 $ \big\braceVert \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C})} \neq C \big\braceVert \text{Def}_{\text{C}} \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C})} $ 가 확립되었으며, 변형 텐서만으로 제어된다.
• 실린더에서 프리드리히스-코른 부등식이 증명되었다: $ \big\braceVert \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} \neq C \big\braceVert \text{Def}_{\text{C}} \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} $, 이는 부분집합에서 0이 되는 벡터장에 대해 유효하다.
• 증명은 칼링 필드의 해(즉, $ \text{Def}_{\text{C}} \bU = 0 $ 의 해) 에 대한 고유계속성 성질에 기반하며, 이는 $ \nabla_{\text{C}} \bvarphi = 0 $ 이면 $ \bvarphi \text{ 상수} $ 라는 것을 보장하여 개방사상정리를 통한 역부등식 유도를 가능하게 한다.