[논문 리뷰] On Polynomial Representations of the DP Color Function: Theta Graphs and Their Generalizations

Charlie Halberg, Hemanshu Kaul외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 22.

Advanced Graph Theory Research인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 Θ 그래프와 그 일반화에 대해 DP 색상 함수의 정확한 다항식 공식을 수립하며, 이 그래프들에 대해 충분히 큰 m일 때 DP 색상 함수가 다항식이 되며, 특히 색칠 다항식과 일치함을 증명한다. 주요 결과는 이 그래프 클래스에 대해 DP 색상 함수의 다항식 표현에 관한 두 개의 열린 문제를 해결하며, DP 색상 함수가 다항식으로 안정화되는 짝수 조건을 규명한다.

ABSTRACT

DP-coloring (also called correspondence coloring) is a generalization of list coloring that has been widely studied in recent years after its introduction by Dvo\v{r}\'{a}k and Postle in 2015. As the analogue of the chromatic polynomial $P(G,m)$, the DP color function of a graph $G$, denoted $P_{DP}(G,m)$, counts the minimum number of DP-colorings over all possible $m$-fold covers. It is known that, unlike the list color function $P_{\ell}(G,m)$, for any $g \geq 3$ there exists a graph $G$ with girth $g$ such that $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$ when $m$ is sufficiently large. Thus, two fundamental open questions regarding the DP color function are: (i) for which $G$ does there exist an $N \in \mathbb{N}$ such that $P_{DP}(G,m) = P(G,m)$ whenever $m \geq N$, (ii) Given a graph $G$ does there always exist an $N \in \mathbb{N}$ and a polynomial $p(m)$ such that $P_{DP}(G,m) = p(m)$ whenever $m \geq N$? In this paper we give exact formulas for the DP color function of a Theta graph based on the parity of its path lengths. This gives an explicit answer, including the formulas for the polynomials that are not the chromatic polynomial, to both the questions above for Theta graphs. We extend this result to Generalized Theta graphs by characterizing the exact parity condition that ensures the DP color function eventually equals the chromatic polynomial. To answer the second question for Generalized Theta graphs, we confirm it for the larger class of graphs with a feedback vertex set of size one.

연구 동기 및 목표

• DP 색상 함수가 색칠 다항식과 일치하는 시점과, 모든 그래프에 대해 최종적으로 다항식이 되는지 여부와 같은 두 가지 기본적인 열린 문제를 해결하기 위해.
• 세 경로의 길이의 짝수 조건에 따라 Θ 그래프의 DP 색상 함수에 대한 정확한 공식을 제공하기 위해.
• 일반화된 Θ 그래프로 이러한 결과를 확장하기 위해, DP 색상 함수가 최종적으로 색칠 다항식과 일치하도록 하는 필수 짝수 조건을 규명하기 위해.
• 피드백 정점 집합의 크기가 1인 더 넓은 그래프 클래스에 대해 DP 색상 함수가 최종적으로 다항식임을 확인하기 위해.
• 특히 구조적 대칭성을 가진 그래프에서 DP 색상 함수가 다항식 형태로 전이되는 시점과 방식을 이해하는 데 기초가 되는 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 저자는 그래프의 m-겹 커버를 분석하고, H-색칠의 구조를 단순화하기 위해 표준 레이블링을 사용한다.
• 그래프를 삼각형이 아닌 숲 G0와 별 모양의 그래프 G1로 분해한 후, 별의 교차 간선 갈등으로 인해 유효하지 않은 H-색칠의 수를 포함-배제 원리로 세는 방식을 사용한다.
• 별의 정점에 대한 각 분할 P에 대해, 고정된 색상이 부여된 G0의 적절한 m-색칠을 사용하여 유효하지 않은 색칠의 수를 나타내는 다항식 pP(m)를 정의한다.
• G의 H-색칠 수는 P(G0, m)에서 별의 간선 m개의 복제본 각각에 대해 유효하지 않은 색칠의 수를 빼는 것으로 표현되며, 각각이 m에 대한 다항식임을 보인다.
• 큰 m에 대해 pP(m)를 최대화하는 분할 Pμ를 식별함으로써, 엄밀한 하한을 도출한다: PDP(G, m) ≥ P(G0, m) − m·pPμ(m).
• 이 하한에 대해 등호를 만족하는 특정한 m-겹 커버 H∗를 구성함으로써, PDP(G, m) = P(G0, m) − m·pPμ(m)임을 증명하며, 이는 m ≥ N일 때 m에 대한 다항식이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 그래프 G에 대해 자연수 N이 존재하여 모든 m ≥ N에 대해 PDP(G, m) = P(G, m)가 성립하는가?
• RQ2 주어진 그래프 G에 대해 항상 자연수 N과 다항식 p(m)가 존재하여 모든 m ≥ N에 대해 PDP(G, m) = p(m)가 성립하는가?
• RQ3 Θ 그래프의 DP 색상 함수의 정확한 형태는 무엇이며, 경로 길이의 짝수 조건에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 일반화된 Θ 그래프에서 경로 길이에 대한 어떤 짝수 조건이 DP 색상 함수가 최종적으로 색칠 다항식과 일치하도록 보장하는가?
• RQ5 피드백 정점 집합의 크기가 1인 그래프에 대해 DP 색상 함수가 최종적으로 다항식임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 세 경로 길이의 짝수가 같은 Θ 그래프의 경우, DP 색상 함수는 최종적으로 색칠 다항식과 일치한다; 그렇지 않으면 다른 다항식이다.
• 논문은 세 경로의 길이가 모두 홀수일 경우 PDP(G, m) = P(G, m)이고, 그렇지 않으면 별개의 다항식이 되는 Θ 그래프의 DP 색상 함수에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 일반화된 Θ 그래프의 경우, DP 색상 함수가 최종적으로 색칠 다항식과 일치하는 것은 모든 경로 길이가 같은 짝수 조건일 때에만 성립한다.
• 저자는 피드백 정점 집합의 크기가 1인 임의의 그래프에 대해 DP 색상 함수가 최종적으로 다항식이 됨을 증명하며, 이는 이 클래스에 대해 두 번째 열린 문제에 대한 긍정적 답변이다.
• 특정한 m-겹 커버 H∗의 구성은 이론적 하한에 등호를 달성하며, 모든 m ≥ N에 대해 PDP(G, m) = P(G0, m) − m·pPμ(m)임을 증명한다. 여기서 pPμ(m)는 모든 분할에 대해 최대인 다항식이다.
• 결과적으로, 일부 그래프에서는 임의로 큰 m에 대해 DP 색상 함수가 색칠 다항식보다 엄밀히 작을 수 있음을 보여주지만, Θ 및 일반화된 Θ 그래프의 경우 안정적으로 다항식으로 수렴함을 보여주며, 이 클래스에 대한 열린 문제를 해결한다.