[논문 리뷰] On Popov's formula involving the Von Mangoldt function

Alexander E. Patkowski|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 15.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 von Mangoldt 함수와 분수부분을 포함하는 Popov의 1943년 공식에 대해 알려진 바 없는 첫 번째 증명을 제공하며, 멜린 변환과 경로 적분을 사용하여 이를 임의의 실수 $ r \geq 1 $ 으로 일반화한다. 주요 기여는 리만 제타 함수의 비자명한 근 $ \rho $ 와 자명한 근을 포함한 $ \Lambda(n) $ 의 합을 연결하는 새로운 명시적 공식을 도출한 것으로, 모비우스 함수에 대해서도 유사한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We offer a generalization of a formula of Popov involving the Von Mangoldt function. Some commentary on its relation to other results in analytic number theory is mentioned as well as an analogue involving the m$\ddot{o}$bius function.

연구 동기 및 목표

• 분수부분과 von Mangoldt 함수를 포함하는 Popov의 1943년 미증명 공식에 대한 엄밀한 증명을 제공하는 것.
• 이 공식을 임의의 실수 $ r \geq 1 $ 으로 일반화하여 적용 가능성을 확장하는 것.
• 모비우스 함수 $ \mu(n) $ 에 대해 유사한 공식을 수립하고, 이를 제타 함수의 근과 연결하는 것.
• 분수부분을 포함한 산술합과 리만 제타 함수의 비자명한 근 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 이러한 합에 대해 해석적 수론에서 멜린 변환과 경로 적분 기법의 유용성을 보여주는 것.

제안 방법

• 분수부분 $ \{t\} - \frac{1}{2} $ 의 멜린 변환을 사용하며, 이는 $ \Re(s) > 1 $ 에서 $ \frac{s+1}{2s(s-1)} - \frac{\zeta(s)}{s} $ 를 유도함을 알고 있음.
• 멜린 역변환을 적용하여 $ \frac{1}{2}(\{u\}^2 - \{u\}) $ 를 $ \zeta(s) $ 와 $ s $ 를 포함한 경로 적분으로 표현함.
• 변수 치환 $ u = \frac{n}{x} $ 과 $ n > x $ 에 대한 합을 취함으로써, $ \zeta'(r-s)/\zeta(r-s) $ 를 포함한 적분으로 전환함.
• 변수 치환 $ s \to 1-s $ 를 통해 적분을 $ \zeta(s+r-1) $ 로 재표현함으로써, $ s=1 $, $ s=2-r $, $ s=\rho+1-r $, $ s=-2k-r+1 $ 에서의 잔여치를 드러냄.
• 이 극점들에서의 잔여치를 계산하여 주 공식을 도출하며, 절대수렴성에 의해 나머지 적분은 0이 됨.
• 자명한 근에서의 잔여치를 평가하기 위해 $ \zeta(s) $ 의 함수방정식을 활용하여 모비우스 함수의 경우에 이 방법을 적응함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $ r \geq 1 $ 에 대해 Popov 공식을 일반화할 수 있으며, 이를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ2 리만 제타 함수의 비자명한 근 $ \rho $ 는 von Mangoldt 함수와 분수부분을 포함한 합에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 유사한 방법을 모비우스 함수 $ \mu(n) $ 에 대해 적용하여 공식을 유도할 수 있으며, 자명한 근은 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 상수항 $ h_r(x) $ 의 의미는 무엇이며, $ s=1 $ 과 $ s=2-r $ 에서의 극점과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 멜린 변환 기법은 해석적 수론에서 이러한 명시적 공식 유도에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 실수 $ r \geq 1 $ 에 대해 일반화된 공식 (1.2) 가 성립하며, $ \Lambda(n) $ 의 합은 $ s=1 $, $ s=2-r $, $ s=\rho+1-r $, $ s=-2k-r+1 $ 에서의 잔여치를 통해 표현됨.
• $ r=1 $ 일 경우, 공식은 Popov의 원래 결과로 축소되며, 상수항 $ h_1(x) = \frac{2 - \log(2\pi)}{2x} $ 를 가짐.
• $ r > 1 $ 일 경우, 상수항은 $ h_r(x) = \left( \frac{r}{2(2-r)(1-r)} - \frac{\zeta(r-1)}{1-r} \right) \frac{x^{-r}}{r} $ 로 표현되며, 이는 $ s=2-r $ 에서의 극점에서 기인함.
• 비자명한 근 $ \rho $ 에 대한 합은 $ \sum_{\rho} \left( \frac{r+1-\rho}{2(\rho+1-r)(\rho-r)} - \frac{\zeta(r-\rho)}{r-\rho} \right) \frac{x^{\rho-r-1}}{r+1-\rho} $ 로 나타남.
• 자명한 근에 대한 합은 $ \zeta(2k+r) $ 를 포함한 항들을 기여하며, 이들의 계수는 $ \zeta(s) $ 의 함수방정식으로 유도됨.
• 모비우스 함수 $ \mu(n) $ 에 대해 유사한 공식이 도출되었으며, 이 경우 $ s=1 $ 에서의 잔여치는 0이 되고, 자명한 근에서의 잔여치는 $ \frac{1}{\zeta'(-2k)} $ 를 포함하여, $ \pi^{2k} $, $ \zeta(2k+1) $, 계승수를 포함하는 새로운 명시적 공식을 도출함.