[논문 리뷰] On Power Law Scaling Dynamics for Time-fractional Phase Field Models during Coarsening

Lizhen Chen, Jia Zhao외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 재료의 응고 역학을 연구하기 위해 시간 분수계 상관계 모델을 도입하며, 효과적 자유 에너지와 거칠기가 분수계 수 α에 선형적으로 비례하는 비율 법칙에 따라 유니버설 파워 띠 스케일링 법칙을 따름을 보여준다. Cahn-Hilliard 및 분자선 에피택시 모델에서의 수치적 검증을 통해 에너지가 O(t⁻ᵅ⁄³) 또는 O(t⁻ᵅ⁄⁴)로 감쇠하고, 거칠기는 O(tᵃ⁄²) 또는 O(tᵃ⁄³)로 증가함을 확인하였으며, 이는 α를 조절하여 응고 속도를 조절할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the phase field models with fractional-order in time. The phase field models have been widely used to study coarsening dynamics of material systems with microstructures. It is known that phase field models are usually derived from energy variation so that they obey some energy dissipation laws intrinsically. Recently, many works have been published on investigating fractional-order phase field models, but little is known of the corresponding energy dissipation laws. We focus on the time-fractional phase field models and report that the effective free energy and roughness obey a universal power-law scaling dynamics during coarsening. Mainly, the effective free energy and roughness in the time-fractional phase field models scale by following a similar power law as the integer phase field models, where the power is linearly proportional to the fractional order. This universal scaling law is verified numerically against several phase field models, including the Cahn-Hilliard equations with different variable mobilities and molecular beam epitaxy models. This new finding sheds light on potential applications of time fractional phase field models in studying coarsening dynamics and crystal growths.

연구 동기 및 목표

• 응고 과정 중 유니버설 스케일링 법칙을 규명함으로써 시간 분수계 상관관계 모델의 기초를 마련하기 위해.
• 분수계 수 α가 상관관계 모델에서 에너지 소산 및 표면 거칠기 영향을 어떻게 미치는지 조사하기 위해.
• 시간 분수계 모델에서의 파워 띠 스케일링이 정수계 모델과 유사한 경향을 보이며, α에 따라 달라지는 지수를 수치적으로 검증하기 위해.
• 분수계 미적분학이 미세구조 진화의 기억 효과를 모델링하는 데 잠재력을 지닌다는 것을 탐색하기 위해.
• 장시간, 고차원 시간 분수계 상관관계 모델의 동역학을 시뮬레이션할 수 있는 강력한 수치적 방법 개발하기 위해.

제안 방법

• 시간에 대한 Caputo 분수계 도함수를 사용하여 시간 분수계 Cahn-Hilliard 및 분자선 에피택시(MBE) 모델을 수립하기 위해.
• 시간 이산화를 효율적으로 수행할 수 있도록 Caputo 분수계 도함수에 대한 빠른 알고리즘을 사용하기 위해.
• 공간 이산화를 위해 푸리에 스펙트럼 방법을 적용하여 고정밀도를 확보하기 위해.
• 장시간 시뮬레이션을 위한 완전 이산화, 선형 및 조건부 안정적인 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 모의 에너지 및 거칠기 데이터에서 스케일링 지수를 추출하기 위해 로그-로그 플롯에 최소 제곱법을 적용하기 위해.
• 다양한 모델에 대한 검증: 일정한 이동도와 변동 이동도를 가진 Cahn-Hilliard 모델, 경사 선택이 있는 및 없는 MBE 모델.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 분수계 상관관계 모델은 정수계 모델과 유사하게 응고 과정 중에 유니버설 파워 띠 스케일링을 보여주는가?
• RQ2 분수계 수 α는 효과적 자유 에너지 및 표면 거칠기의 스케일링 지수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 시간 분수계 모델의 스케일링 법칙이 분수계 수 α와 선형 관계로 양적 연결이 가능한가?
• RQ4 α → 1일 때 시간 분수계 모델의 수치 결과가 기존의 정수계 스케일링 행동을 회복하는가?
• RQ5 제안된 수치적 스킴은 시간 분수계 상관관계 모델의 장시간, 고차원 시뮬레이션에 있어 효율적이고 안정적인가?

주요 결과

• 일정 이동도를 가진 시간 분수계 Cahn-Hilliard 모델에서 효과적 자유 에너지는 O(t⁻ᵅ⁄³)로 스케일링되며, 이는 정수계 모델의 알려진 t⁻¹⁄³ 스케일링과 일치한다.
• 상태에 따라 변하는 이동도 λ = λ₀|1−φ²|를 가진 시간 분수계 Cahn-Hilliard 모델에서 에너지는 O(t⁻ᵅ⁄⁴)로 감쇠하며, 이는 정수계 모델의 t⁻¹⁄⁴ 스케일링과 일치한다.
• 경사 선택이 있는 시간 분수계 MBE 모델에서 에너지는 O(t⁻ᵅ⁄³)로 감쇠하고, 거칠기는 O(tᵃ⁄³)로 증가하며, α = 1일 때 정수계 모델의 t⁻¹⁄³ 및 t¹⁄³ 스케일링을 유지한다.
• 경사 선택이 없는 시간 분수계 MBE 모델에서 거칠기는 O(tᵃ⁄²)로 증가하며, 이는 정수계 모델의 t¹⁄² 스케일링을 분수계 α로 일반화한 것이다.
• 스케일링 지수는 α에 선형적으로 비례하며, 이는 응고 속도를 분수계 수를 조절하여 조절할 수 있음을 시사한다.
• 수치 결과는 다양한 모델을 통해 유니버설 파워 띠 스케일링이 확인되었으며, 시간 분수계 상관관계 모델의 이론적 프레임워크를 검증한다.