[논문 리뷰] On practical numbers of some special forms

Li-Yuan Wang, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $b \geq 0$, $c > 0$ 인 특정 이차형식 $n^2 + bn + c$ 에 대해, 어떤 $n > 1$ 에서 실현 가능한 실용수일 경우, 무한히 많은 실용수를 생성함을 증명한다. 또한 실용수 $q$ 에 대해 $q^4 + 2$ 형태의 실용수를 무한히 포함함을 증명하고, 원소 간 최대공약수가 4 또는 6인 실용 피타고라스 삼중항을 체비셰프 다항식 항등식과 곱셈적 구조에 대한 귀납적 추론을 통해 구성한다.

ABSTRACT

In this paper we study practical numbers of some special forms. For any integers $b\ge0$ and $c>0$, we show that if $n^2+bn+c$ is practical for some integer $n>1$, then there are infinitely many nonnegative integers $n$ with $n^2+bn+c$ practical. We also prove that there are infinitely many practical numbers of the form $q^4+2$ with $q$ practical, and that there are infinitely many practical Pythagorean triples $(a,b,c)$ with $\gcd(a,b,c)=6$ (or $\gcd(a,b,c)=4$).

연구 동기 및 목표

• 특정 산술 조건을 만족하는 $b$ 및 $c$ 에 대해 이차형식 $n^2 + bn + c$ 에서 실용수의 무한성을 조사한다.
• 실용수 $q$ 에 대해 $q^4 + 2$ 형태의 실용수를 무한히 포함함을 증명한다.
• 최대공약수가 4 또는 6인 실용 피타고라스 삼중항을 구성하고 그 존재성을 증명한다.
• 메르피의 체비셰프 다항식 방법을 확장하여 $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 와 같은 특정 지수형식의 실용성 증명을 수행한다.

제안 방법

• 실용수의 구조 정리: 수가 실용수일 조건은 $p_1 = 2$ 일 때, 소인수 $p_j - 1 \leq \sigma(p_1^{a_1} \cdots p_{j-1}^{a_{j-1}})$ 를 만족함을 의미한다.
• 메르피의 체비셰프 다항식 방법을 적용하여 $\Phi_d(x)$ 와 관련된 항등식을 활용해 체비셰프 다항식의 크기를 인수분해하고 경계를 설정한다.
• 모든 $k \geq 0$ 에 대해 $m_k = 2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 가 실용수임을 증명하기 위해 $k$ 에 대한 귀납법을 적용하며, $\Phi_6(x), \Phi_{30}(x), \Phi_{42}(x), \Phi_{210}(x)$ 의 경계를 활용한다.
• 항등식 $x^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x)$ 를 사용해 $x^{210} - 1$ 을 분해하고, 체비셰프 인수를 통해 $m_{k+1}$ 과 $m_k$ 를 연결한다.
• Lemma 2.1(실용수의 곱이 곱셈적 성장률에 제한될 경우 실용수 유지) 을 적용하여 귀납적 인수분해를 통해 실용성을 전파한다.
• 다음과 같은 명시적 가족의 피타고라스 삼중항을 구성: $a_k = 2(3^{3^k \cdot 70} - 1)$, $b_k = 4 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$, $c_k = 2(3^{3^k \cdot 70} + 1)$ 이며, 이들의 실용성을 귀납적으로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차형식 $n^2 + bn + c$ 가 실용수를 무한히 생성하는 조건은 무엇인가? $b$ 와 $c$ 에 대해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ2 실용수 $q$ 에 대해 $q^4 + 2$ 형태의 실용수를 무한히 포함하는가?
• RQ3 최대공약수가 4 또는 6인 실용 피타고라스 삼중항을 무한히 구성할 수 있는가?
• RQ4 $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 는 모든 $k \geq 0$ 에 대해 실용수를 생성하는가?
• RQ5 체비셰프 다항식 인수분해를 통해 귀납적 추론을 활용해 지수형식의 실용성 증명이 가능한가?

주요 결과

• 만약 어떤 $n > 1$ 에 대해 $n^2 + bn + c$ 가 실용수일 경우, $n^2 + bn + c$ 가 실용수인 $n \in \mathbb{N}$ 가 무한히 존재한다.
• $b = 20$ 일 때, $S_{20} = \{1 \leq c \leq 100 : c \not\equiv 2,5 \pmod{12}\}$ 이면, $n^2 + 20n + c$ 는 무한히 많은 $n$ 에 대해 실용수이다.
• $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 는 모든 $k \geq 0$ 에 대해 실용수이며, 이는 실용수 $q$ 에 대해 $q^4 + 2$ 가 실용수인 실용수 $q$ 가 무한히 존재함을 증명한다.
• 최대공약수가 4인 실용 피타고라스 삼중항은 무한히 존재하며, 다음을 통해 구성된다: $a_k = 2(3^{3^k \cdot 70} - 1)$, $b_k = 4 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$, $c_k = 2(3^{3^k \cdot 70} + 1)$.
• 최대공약수가 6인 실용 피타고라스 삼중항은 무한히 존재하며, 다음을 통해 구성된다: $x_k = 3(3^{3^k \cdot 70} - 1)$, $y_k = 6 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$, $z_k = 3(3^{3^k \cdot 70} + 1)$ 이며, 모든 항목이 귀납적으로 실용수임을 증명하였다.
• 체비셰프 인수분해 $x^{210} - 1 = (x^{105} - 1) \cdot \Phi_6(x) \Phi_{30}(x) \Phi_{42}(x) \Phi_{210}(x)$ 를 사용해 인수의 크기를 경계하고 비교함으로써, 실용성에 대한 귀납적 증명이 가능해졌다.