[논문 리뷰] On pro-p fundamental groups of marked arithmetic curves

Alexander Schmidt|ArXiv.org|2008. 06. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 전역체 $k$, 홀수 소수 $p \neq \mathrm{char}(k)$, 그리고 서로소인 유한 집합 $S$, $T$, $M$ (여기서 $M$ 는 딜리클레 밀도가 0임)에 대해, $S \cup T \cup M$ 와 서로소인 유한 소수 집합 $S_0$ 가 존재하여, 프로-$p$ 갈루아 군 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 가 코homological dimension 2, 전사 cup 곱, 모든 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 에서 국소 $p$-확장을 실현하며, 분해군에 대해 자유곱 분해를 가짐을 보여준다. 이는 이전의 클래스 수 및 원분단위에 대한 제약 조건을 제거한다.

ABSTRACT

Let k be a global field, p an odd prime number different from char(k) and S, T disjoint, finite sets of primes of k. Let G_S^T(k)(p)=Gal(k_S^T(p)|k) be the Galois group of the maximal p-extension of k which is unramified outside S and completely split at T. We prove the existence of a finite set of primes S_0, which can be chosen disjoint from any given set M of Dirichlet density zero, such that the cohomology of G_{S\cup S_0}^T(k)(p) coincides with the etale cohomology of the associated marked arithmetic curve. In particular, cd G_{S\cup S_0}^T(k)(p)=2. Furthermore, we can choose S_0 in such a way that k_{S\cup S_0}^T(p) realizes the maximal p-extension k_\p(p) of the local field k_\p for all \p\in S\cup S_0, the cup-product H^1(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) \otimes H^1(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) --> H^2(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) is surjective and the decomposition groups of the primes in S establish a free product inside G_{S\cup S_0}^T(k)(p). This generalizes previous work of the author where similar results were shown in the case T=\emptyset under the restrictive assumption p mid Cl(k) and ζ_p otin k.

연구 동기 및 목표

• 이전의 전역체의 프로-$p$ 기본군에 관한 결과를 일반화하여, $p \nmid \#\mathrm{Cl}(k)$ 및 $\zeta_p \notin k$ 등의 제약 조건을 제거함.
• 임의의 전역체 $k$, 유한 집합 $S$, $T$, 그리고 딜리클레 밀도가 0인 집합 $M$ 에 대해, $S \cup T \cup M$ 와 서로소인 유한 개의 소수 $S_0$ 를 첨가함으로써 바람직한 코homological 및 갈루아 이론적 성질을 달성할 수 있음을 보임.
• 코homology $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 가 표시된 산술 곡선 $X \setminus (S \cup S_0), T$ 의 에테일 코homology 와 일치함을 증명하여 $\mathrm{cd} = 2$ 를 이끌어냄.
• 모든 $\mathfrak{p} \in S$ 에 속하는 소수의 분해군이 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 내부에서 자유곱을 이룸을 보이며, 각 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 에서 최대 $p$-확장을 실현함을 증명함.
• Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스가 모든 $i \geq 0$ 에 대해 군 코hom로지와 에테일 코hom로지 사이의 동형을 유도함으로써 $K(\pi,1)$-성질을 확인함.

제안 방법

• 디릴클레 밀도가 0인 집합 $\mathcal{M}$ 과 함께, 클래스 체계 이론과 국소 대칭을 이용하여 $S \cup T \cup \mathcal{M}$ 와 서로소인 유한 소수 집합 $S_0$ 를 구성함.
• 미묘한 프로-$p$ 군 이론과 $K(\pi,1)$-성질을 활용하여 코homological dimension 과 cup 곱의 구조를 제어함.
• 절단과 국소 대칭 정리를 적용하여 Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스의 모서리 사상이 동형임을 보이며, 군 코hom로지와 표시된 곡선의 에테일 코hom로지 사이의 연결 고리를 확립함.
• 주 이상수 정리와 브라우어 군에 대한 하스 정리를 활용하여, 특히 쌍대 군 검증에서 $D_0$ 와 $D_1$ 에 대한 코homology 항목의 소멸을 보임.
• $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 가 차원 2의 프로-$p$ 쌍대 군임을 증명함으로써, $\mathrm{cd} = 2$ 와 쌍대 코hom로지 항목 $D_0$, $D_1$ 의 소멸을 입증함.
• 국소 갈루아 군의 자유 프로-$p$ 곱에서의 자연스러운 사상이 전기로 지정된 군으로의 사상이 동형임을 이용하여 분해군의 자유곱 구조를 확립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래스 수 조건 $p \nmid \#\mathrm{Cl}(k)$ 또는 원분단위 조건 $\zeta_p \notin k$ 를 가정하지 않더라도, $G_{S}^T(k)(p)$ 의 코homological dimension 을 2로 만들 수 있는가?
• RQ2 주어진 딜리클레 밀도가 0인 집합 $\mathcal{M}$ 과 서로소인 유한 개의 소수 $S_0$ 를 첨가하여, $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 가 모든 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 에서 국소 $p$-확장을 실현할 수 있는가?
• RQ3 해당 $S_0$ 를 첨가한 후, cup 곱 $H^1 \otimes H^1 \to H^2$ 가 전사가 되는가?
• RQ4 소수 집합 $S$ 에 속하는 분해군이 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 내부에서 자유곱을 이룰 수 있는가?
• RQ5 Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스의 모서리 사상이 동형이 되어, 군 코hom로지가 표시된 산술 곡선의 에테일 코호모로지와 일치하는가?

주요 결과

• 임의의 전역체 $k$, 홀수 소수 $p \neq \mathrm{char}(k)$, 그리고 서로소인 유한 집합 $S$, $T$, $\mathcal{M}$ (디릴클레 밀도가 0) 에 대해, $S \cup T \cup \mathcal{M}$ 와 서로소인 유한 집합 $S_0$ 가 존재하여, $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 는 코homological dimension 2 를 가짐.
• cup 곱 $H^1(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p) \otimes H^1(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p) \to H^2(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p)$ 는 전사임.
• $k_{S \cup S_0}^T(p)$ 는 모든 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 에 대해 국소체 $k_{\mathfrak{p}}$ 의 최대 $p$-확장 $k_{\mathfrak{p}}(p)$ 를 실현함.
• $S$ 에 속하는 소수의 분해군은 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 내부에서 자유곱을 이룸. 즉, 국소 갈루아 군의 자유 프로-$p$ 곱에서의 자연스러운 사상이 전기로 지정된 군으로의 사상임.
• 모든 이산적 $p$- torsion $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$-모듈 $M$ 에 대해, 모든 $i \geq 0$ 에 대해 Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스의 모서리 사상이 동형이 되며, 이는 군 코hom로지가 표시된 산술 곡선의 에테일 코호모로지와 일치함을 확인함.
• 약간의 조건 하에, 군 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 는 차원 2의 프로-$p$ 쌍대 군이며, 이중화 모듈은 $k_{S}^T(p)$ 의 $S$-$T$-아이델 클래스 군의 $p$- torsion 부분과 동형임.