[논문 리뷰] On pro-$p$-Iwahori invariants of $R$-representations of reductive $p$-adic groups

Noriyuki Abe, Guy Henniart외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 30.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 재귀적 $p$-진 군의 $R$-표현과 pro-$p$-Iwahori Hecke 대수 위의 모듈 간의 정확한 대응 관계를 설정하며, 이는 이전의 초점 유도 작업을 확장한다. 특별히, 특성 $p$를 가진 대수적으로 닫힌 체 $R$에 대해, $G$의 비가역적이고 적절한 $R$-표현 중에서 비자명한 매끄러운 쌍대가 존재하는 경우는 유한 차원이어야 한다는 것을 증명하여, 이러한 표현의 분류에서 핵심 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

Let $F$ be locally compact field with residue characteristic $p$, and $\mathbf{G}$ a connected reductive $F$-group. Let $\mathcal{U}$ be a pro-$p$ Iwahori subgroup of $G = \mathbf{G}(F)$. Fix a commutative ring $R$. If $π$ is a smooth $R[G]$-representation, the space of invariants $π^{\mathcal{U}}$ is a right module over the Hecke algebra $\mathcal{H}$ of $\mathcal{U}$ in $G$. Let $P$ be a parabolic subgroup of $G$ with a Levi decomposition $P = MN$ adapted to $\mathcal{U}$. We complement previous investigation of Ollivier-Vignéras on the relation between taking $\mathcal{U}$-invariants and various functor like $\mathrm{Ind}_P^G$ and right and left adjoints. More precisely the authors' previous work with Herzig introduce representations $I_G(P,σ,Q)$ where $σ$ is a smooth representation of $M$ extending, trivially on $N$, to a larger parabolic subgroup $P(σ)$, and $Q$ is a parabolic subgroup between $P$ and $P(σ)$. Here we relate $I_G(P,σ,Q)^{\mathcal{U}}$ to an analogously defined $\mathcal{H}$-module $I_\mathcal{H}(P,σ^{\mathcal{U}_M},Q)$, where $\mathcal{U}_M = \mathcal{U}\cap M$ and $σ^{\mathcal{U}_M}$ is seen as a module over the Hecke algebra $\mathcal{H}_M$ of $\mathcal{U}_M$ in $M$. In the reverse direction, if $\mathcal{V}$ is a right $\mathcal{H}_M$-module, we relate $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q)\otimes extrm{c-Ind}_\mathcal{U}^G\mathbf{1}$ to $I_G(P,\mathcal{V}\otimes_{\mathcal{H}_M} extrm{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M\mathbb{1},Q)$. As an application we prove that if $R$ is an algebraically closed field of characteristic $p$, and $π$ is an irreducible admissible representation of $G$, then the contragredient of $π$ is $0$ unless $π$ has finite dimension.

연구 동기 및 목표

• pro-$p$-Iwahori 불변량 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ 와 pro-$p$-Iwahori Hecke 대수 $\mathcal{H}$ 위의 Hecke 모듈 간의 관계를 규명한다.
• Ollivier-Vignéras 및 Abe-Henniart-Vignéras의 프레임워크를 pro-$p$-Iwahori 부분군에 대한 불변량을 포함하도록 확장한다.
• 특성 $p$를 가진 대수적으로 닫힌 체 $R$일 때, $G$의 비가역적이고 적절한 $R$-표현 중에서 비자명한 매끄러운 쌍대를 가진 표현은 유한 차원이어야 한다는 것을 증명한다.
• 특성 0의 결과를 일반화하는 방식으로, mod-$p$ 표현 이론의 맥락에서 이중성 결과를 수립한다.

제안 방법

• 표현 이론적 불변량과 Hecke 대수 모듈 간의 대응 관계를 구축한다. 여기서 $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ 은 $\sigma$ 의 $\mathcal{U}_M$-불변 공간이다.
• pro-$p$-Iwahori 부분군 $\mathcal{U}$ 와 그 리만 부분군 $\mathcal{U}_M = \mathcal{U} \cap M$ 에 대응하는 Hecke 대수 $\mathcal{H}$ 와 $\mathcal{H}_M$ 을 사용하며, $\mathcal{H}_M$-모듈의 확장 성질을 연구한다.
• 우변의 수반 함자 $(-)^{\mathcal{U}}$ 를 이용하여, $\mathcal{H}$-모듈과 $G$-표현 간의 관계를 $\mathcal{V} \mapsto \mathcal{V} \otimes_{\mathcal{H}_M} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M \mathbf{1}$ 를 통해 수립한다.
• 초승격 $\mathcal{H}_R$-모듈의 분류와 보편 표현 $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q) \otimes_\mathcal{H} R[\mathcal{U} \backslash G]$ 의 구조를 이용하여 불변량을 분석한다.
• 특히 $\mathrm{St}_Q^{P(\sigma)}$ 를 기본 구성 요소로 사용하여 Hecke 대수의 맥락에서 초점 유도와 공유도 이론을 적용한다.
• 초승격 표현에 관련된 특성 $\chi$ 를 이용하여 계수 $a_w$ 에 대한 제약 조건을 유도하며, 와일 군이 자명하지 않다면 모순이 발생함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 pro-$p$-Iwahori 불변량 $I_G(P,\sigma,Q)$ 와 pro-$p$-Iwahori Hecke 대수 $\mathcal{H}$ 위의 Hecke 모듈 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ 의 $\mathcal{H}$-모듈 구조는 $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ 과 Hecke 대수 $\mathcal{H}_M$ 을 통해 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 비가역적이고 적절한 $R$-표현의 매끄러운 쌍대가 언제 0이 되고, 언제 비자명한가?
• RQ4 초승격 $\mathcal{H}_M$-모듈은 $I_G(P,\sigma,Q)$ 의 유한성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 Hecke 대수 방법을 사용하여 특성 0이 아닌 경우에도 비가역적이고 적절한 표현이 비자명한 매끄러운 쌍대를 가질 경우 유한 차원임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• pro-$p$-Iwahori 불변량 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ 는 $\mathcal{H}$-모듈 $I_\mathcal{H}(P,\sigma^{\mathcal{U}_M},Q)$ 와 동형이며, 표현론적 불변량과 Hecke 대수 이론 간의 정확한 연결 고리를 확립한다.
• 모든 오른쪽 $\mathcal{H}_M$-모듈 $\mathcal{V}$ 에 대해, $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q) \otimes_{\mathcal{H}} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}}^G \mathbf{1}$ 은 $I_G(P, \mathcal{V} \otimes_{\mathcal{H}_M} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M \mathbf{1}, Q)$ 와 동형이며, 이는 초점 유도와 Hecke 대수 연산 간의 호환성을 보여준다.
• 만약 $R$ 가 특성 $p$를 가진 대수적으로 닫힌 체이면, $G$ 의 비가역적이고 적절한 $R$-표현 $\pi$ 중에서 비자명한 매끄러운 쌍대를 가진 표현은 반드시 유한 차원이어야 한다.
• 이 증명은 $\sigma$ 가 초승격일 경우 $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ 에 초승격 $\mathcal{H}_M$-부분모듈이 존재함을 이용하며, 이는 리만 부분군 $M$ 이 중심이 되게 하므로, 결과적으로 유한하다는 것을 암시한다.
• 표현 $\sigma$ 의 매끄러운 쌍대가 비자명하다는 사실을 이용하여 $M = Z$ (중심) 임을 유추하며, 이는 $\sigma$ 가 유한 차원임을 의미하고, 따라서 $\pi = I_G(P,\sigma,G)$ 도 유한 차원임을 유도한다.
• 결과는 $F$ 의 잔여 특성에 제한 없이 성립하며, 특성 0의 결과에 의존하지 않아, 전체 mod-$p$ 설정에서 유효하다.