[논문 리뷰] On Problems Equivalent to (min,+)-Convolution

Künnemann, Marvin, Paturi, Ramamohan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 미세 복잡도 이론에서 (min,+)-convolution을 핵심 난이도 가정으로 설정하며, 0/1 Knapsack, Unbounded Knapsack, 초등가능성 테스팅, 트리 스파arsity와 같은 핵심 문제들과의 하위제곱 등가성을 증명한다. 저자들은 이러한 문제들 중 하나에 대한 하위제곱 알고리즘이 존재할 경우 (min,+)-convolution 추측을 반증하게 되며, 비결정적 감소를 통한 SETH 대체가 항상 가능하지 않음을 보여, 제약 조건이 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

In the recent years, significant progress has been made in explaining apparent hardness of improving over naive solutions for many fundamental polynomially solvable problems. This came in the form of conditional lower bounds -- reductions from a problem assumed to be hard. These include 3SUM, All-Pairs Shortest Paths, SAT and Orthogonal Vectors, and others. In the (min,+)-convolution problem, the goal is to compute a sequence c, where c[k] = min_i a[i]+b[k-i], given sequences a and b. This can easily be done in O(n^2) time, but no O(n^{2-eps}) algorithm is known for eps > 0. In this paper we undertake a systematic study of the (min,+)-convolution problem as a hardness assumption. As the first step, we establish equivalence of this problem to a group of other problems, including variants of the classic knapsack problem and problems related to subadditive sequences. The (min,+)-convolution has been used as a building block in algorithms for many problems, notably problems in stringology. It has also already appeared as an ad hoc hardness assumption. We investigate some of these connections and provide new reductions and other results.

연구 동기 및 목표

• 미세 복잡도 이론에서 (min,+)-convolution을 기초 난이도 가정으로 설정하기.
• (min,+)-convolution과 0/1 Knapsack, Unbounded Knapsack, 초등가능성 테스팅 등의 기본 문제들 간의 하위제곱 등가성을 증명하기.
• (min,+)-convolution 추측을 SETH나 OV로 대체할 수 있는지의 한계를 조사하기.
• 특히 결정 문제 버전과 비결정적 알고리즘에 대해 새로운 감소를 제공하고 기존 감소를 개선하기.
• SAT 또는 SETH로부터의 결정적 감소를 통해 무엇을 배제할 수 있는지의 경계를 명확히 하기.

제안 방법

• 새로운 (min,+)-convolution 추측 제안: 정수로 이루어진 수열에 대해 [−W, W] 범위에서 O(n²−ε polylog(W)) 알고리즘이 존재하지 않음.
• 새로운 감소를 통해 (min,+)-convolution과 0/1 Knapsack, Unbounded Knapsack, 초등가능성 테스팅 간의 하위제곱 등가성을 확립.
• 더 깔끔한 증명을 위해 MinConv의 역인 MaxConv를 사용하며, 부호 반전을 통해 결과가 전이됨을 이해한다.
• 결정 문제 버전 분석: MaxConv UpperBound와 MaxConv LowerBound를 제시하고, 하위제곱 감소 하에 MinConv와의 등가성을 보여준다.
• MaxConv에 대한 빠른 O(n²/2Ω(√log n)) 알고리즘을 적용하여, 모든 등가 문제들에 대한 하위제곱 알고리즘을 유도한다.
• 비결정적 알고리즘과 NSETH를 사용하여 SETH에서 Knapsack 문제로의 감소가 불가능함을 보여, SETH 기반 난이도의 한계를 부각한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 (min,+)-convolution이 하위제곱 감소 하에 0/1 Knapsack 및 Unbounded Knapsack와 등가인가?
• RQ2 SETH를 사용할 수 없을 경우에도 (min,+)-convolution 추측을 통해 Knapsack 문제에 대한 결정적 하위제곱 알고리즘의 존재를 배제할 수 있는가?
• RQ3 왜 (min,+)-convolution 가정을 SETH로 대체하는 것이 일부 문제들에 대해 문제시되는가?
• RQ4 MaxConv UpperBound와 같은 (min,+)-convolution의 결정 문제 버전이 원래 문제와 등가인가?
• RQ5 (min,+)-convolution 추측은 Orthogonal Vectors나 SETH 추측보다 더 강력한가?

주요 결과

• (min,+)-convolution 문제는 0/1 Knapsack, Unbounded Knapsack, 초등가능성 테스팅, 트리 스파arsity와 하위제곱 등가이다.
• 0/1 Knapsack에 대해 O((n + t)²−ε) 알고리즘이 존재할 경우 (min,+)-convolution 추측을 반증하게 되며, 이는 새로운 조건부 하한을 제공한다.
• 비결정적 O(t√n log³(W)) 알고리즘이 Unbounded Knapsack의 결정 문제 버전에 존재하며, 이는 SETH로부터의 결정적 감소가 NSETH 하에 불가능함을 시사한다.
• (min,+)-convolution에 대해 O(n²−ε polylog(W)) 알고리즘이 존재하지 않는다는 추측은 3SUM 및 APSP 추측보다 더 강력하다.
• MaxConv에 대한 빠른 O(n²/2Ω(√log n)) 알고리즘의 존재는 초등가능성 테스팅에 대해 처음으로 알려진 하위제곱 알고리즘을 유도하며, 트리 스파arsity에 대해 개선된 정확 알고리즘을 제공한다.
• 논문은 (min,+)-convolution을 SETH로 대체하는 것이 항상 가능하지 않음을 보여주며, 특히 비트리비한 비결정적 알고리즘을 갖는 문제들에 대해 문제가 된다.