[논문 리뷰] On processes which are infinitely divisible with respect to time

Roger Mansuy|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 시간에 대해 무한히 나누어지는(Infinitely Divisible with respect to Time, 이하 IDT) 확률과정—즉, 시간 스케일 불변성 성질을 만족하는 Lévy 과정의 일반화—를 도입하고 특성화한다: 임의의 n에 대해 (X_{nt})는 n개의 독립적 복사본 (X_t)의 합과 같은 유한차원 분포를 가진다. 주요 기여는 공선성 구조를 통한 가우시안 IDT 과정의 완전한 특성화로, 이는 브라운 운동 스케일링 성질을 만족하고, 정적 Lamperti 변환을 갖는 과정들과 동치임을 보여준다. 논문은 또한 IDT 과정이 Lévy 과정과 일차원 마진 분포를 공유하지만, 경로 행동 측면에서 상당히 다를 수 있음을 규명한다.

ABSTRACT

The aim of this short note is to present the notion of IDT processes, which is a wide generalization of Lévy processes obtained from a modified infinitely divisible property. Special attention is put on a number of examples, in order to clarify how much the IDT processes either differ from, or resemble to, Lévy processes.

연구 동기 및 목표

• 시간에 대해 무한히 나누어지는(Infinitely Divisible with respect to Time, 이하 IDT) 확률과정의 클래스를 정의하고 연구함으로써, 고전적 Lévy 과정을 초월함.
• 특히 가우시안 케이스에서 IDT 과정과 Lévy 과정 간의 구조적 유사점과 차이점을 명확히 함.
• 공선성 구조, Lamperti 변환, 스펙트럼 측도를 사용하여 가우시안 IDT 과정의 완전한 특성화 제공.
• IDT 과정이 시간 t=1에서 동일한 마진 분포를 갖는 Lévy 과정과 같은 일차원 유한차원 분포를 공유함을 보임.
• 기존 IDT 과정의 시간 적분 및 점프 기반 함수를 통해 새로운 IDT 과정의 구성

제안 방법

• 모든 n ∈ ℕ*에 대해 (X_{nt}; t ≥ 0) =_d (X^{(1)}_t + ... + X^{(n)}_t; t ≥ 0) 라는 성질을 통해 IDT 과정 정의—여기서 X^{(i)}는 X의 i.i.d. 복사본이다.
• 자기유사 과정을 정적 과정으로 변환하기 위해 Lamperti 변환(X_t → e^{-ht}X_{e^t})를 사용함으로써 스펙트럼 특성화 가능.
• Bochner의 정리를 적용하여 정적 Lamperti 변환 과정을 ℝ 상의 양의 유한한 대칭 측도 μ를 통해 표현.
• 시간 적분을 통한 예시 구성: X가 IDT이고 μ가 ℝ₊ 상의 측도이면, X^{(μ)}_t = ∫ μ(du) X_{ut}는 IDT이다.
• 함수 f가 f(·,0) ≡ 0를 만족할 경우, f(v, ΔX_{vt})를 통해 점프 기반 IDT 과정 정의.
• 스케일링 성질 c(αs, αt) = α c(s,t)를 사용하여 IDT 가우시안 과정을 특성화하고, 이와 브라운 운동 스케일링 성질 및 Lamperti 변환의 정적 성질과 연결함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 가우시안 과정이 IDT 성질을 만족하며, 그 공선성 함수의 정확한 특성화는 무엇인가?
• RQ2 IDT 과정은 경로 정규성 및 표본 경로 행동 측면에서 Lévy 과정과 어떻게 다를까?
• RQ3 시간 적분 또는 점프 함수를 통해 Lévy 과정으로부터 IDT 과정을 구성할 수 있으며, 그 과정에서 IDT 성질이 유지되는가?
• RQ4 Lévy 과정과 동일한 일차원 마진 분포를 갖는 IDT 과정이 유한차원 분포나 경로 구조 측면에서 얼마나 다를까?
• RQ5 IDT 가우시안 과정의 공선성 함수의 스펙트럼 표현은 ℝ 상의 양의 측도를 통해 어떻게 기술되는가?

주요 결과

• 모든 Lévy 과정은 IDT이지만, IDT 과정의 클래스는 더 넓으며, 마코프가 아니고 독립 증분이 아닌 과정도 포함된다.
• 중앙값이 0인 가우시안 과정은 모든 α > 0 및 0 ≤ s ≤ t에 대해 c(αs, αt) = α c(s,t)를 만족할 때에만 IDT이다.
• 가우시안 과정의 IDT 성질은 브라운 운동 스케일링 성질과 동치이다: (G_{αt}; t ≥ 0) =_d (√α G_t; t ≥ 0).
• IDT 가우시안 과정의 Lamperti 변환은 정적이며, 그 공선성 함수는 ∫ μ(du) e^{iu|y−z|} 형태를 가진다—여기서 μ는 ℝ 상의 양의 유한한 대칭 측도이다.
• G^{(φ)}_t = ∫₀^∞ φ(u/t) dB_u로 정의된 과정 G^{(φ)}는 φ ∈ L²(ℝ₊)이면 IDT이며, 스펙트럼 측도 μ는 커널의 푸리에 변환으로부터 명시적으로 계산 가능하다.
• Lamperti 변환된 과정과 관련된 스펙트럼 측도 μ는 ∫ μ(dy) e^{iy√(2λ)}가 양의 랜덤 변수 A의 라플라스 변환임을 만족하며, μ는 β_A의 분포이다—여기서 β는 표준 브라운 운동이다.