[논문 리뷰] On products of Gaussian random variables

Željka Stojanac, Daniel Suess외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 28.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 포화 H-함수와 마이저 G-함수를 사용하여 독립적인 가우시안 랜덤 변수의 곱, 제곱, 절댓값의 누적분포함수(CDF)에 대한 파워-로그 급수 전개를 개발한다. 비음수 케이스에 대한 모멘트 생성 함수(MGF)를 유도하고, 저차항 절단을 통해 날카운 트레이싱된 초미세 바운드를 수립함으로써 고차원 텐서 센싱 및 신호 처리 응용 분야에서 尾확률의 정확한 근사가 가능해진다.

ABSTRACT

Sums of independent random variables form the basis of many fundamental theorems in probability theory and statistics, and therefore, are well understood. The related problem of characterizing products of independent random variables seems to be much more challenging. In this work, we investigate such products of normal random variables, products of their absolute values, and products of their squares. We compute power-log series expansions of their cumulative distribution function (CDF) based on the theory of Fox H-functions. Numerically we show that for small arguments the CDFs are well approximated by the lowest orders of this expansion. For the two non-negative random variables, we also compute the moment generating functions in terms of Meijer G-functions, and consequently, obtain a Chernoff bound for sums of such random variables.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 표준 가우시안 랜덤 변수의 곱, 그 제곱 및 절댓값의 분포를 특성화하는 것.
• 이러한 곱의 누적분포함수(CDF)에 대한 정확하고 수치적으로 다룰 수 있는 근사 방법을 개발하는 것.
• 비음수 변형(제곱 및 절댓값의 곱)에 대한 모멘트 생성 함수(MGF)를 메이저 G-함수의 형태로 표현하는 것.
• 이러한 곱 변수들의 합에 대한 초미세 바운드를 도출하여 고차원 환경에서 꼬리 확률 추정이 가능하게 하는 것.
• 텐서 센싱 및 관련 응용 분야에서 곱 분포를 포함하는 통계적 추론의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 포화 H-함수 이론을 활용하여 X(가우시안의 곱), Y(제곱의 곱), Z(절댓값의 곱)의 CDF에 대한 파워-로그 급수 전개를 도출한다.
• Y와 Z의 모멘트 생성 함수(MGF)를 메이저 G-함수의 형태로 표현하여 모멘트 계산 및 초미세 바운드 유도를 가능하게 한다.
• 동일한 분포를 가진 i.i.d. 복수의 Y와 Z 합에 초미세 부등식을 적용하고, 유도된 MGF를 사용하여 꼬리 확률을 바운드한다.
• 파워-로그 급수의 저차항 절단을 활용하여 CDF의 정밀한 수치 근사를 실현하며, 특히 작은 값에서 뛰어난 성능을 발휘한다.
• 큰 값에 대한 메이저 G-함수의 渐近 근사를 활용하여 초미세 바운드를 단순화한다.
• 수치적 검증을 통해 저차항 전개와 바운드의 정밀도를 입증하였으며, 다양한 차원과 꼬리 영역에서 뛰어난 성능을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립적인 표준 가우시안 랜덤 변수의 곱에 대한 누적분포함수(CDF)는 어떻게 고정밀도로 근사할 수 있는가?
• RQ2 제곱 또는 절댓값 가우시안 변수의 곱에 대한 모멘트 생성 함수(MGF)의 구조는 무엇이며, 특수함수의 형태로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 메이저 G-함수 표현을 활용하여 이러한 곱 변수들의 합에 대한 초미세 바운드를 도출하고 단순화할 수 있는가?
• RQ4 저차항 파워-로그 급수 전개는 이러한 곱 분포의 CDF 근사에서 얼마나 정밀한가, 특히 작은 값에서의 성능은 어떠한가?
• RQ5 이러한 근사의 실용적 함의는 텐서 센싱과 같은 고차원 문제에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 파워-로그 급수 전개의 저차항 절단이, 특히 작은 값에서 가우시안 변수 곱의 CDF에 대해 날카운 근사를 제공한다.
• 제곱 및 절댓값 가우시안 변수 곱의 모멘트 생성 함수(MGF)는 메이저 G-함수의 형태로 표현되며, 정확한 모멘트 계산이 가능해진다.
• Y(제곱의 곱)와 Z(절댓값의 곱)의 i.i.d. 복수의 합에 대한 초미세 바운드가 MGF를 기반으로 도출되고 단순화되었다.
• 유도된 초미세 바운드는 수치적으로 검증되었으며, 특히 중간 및 작은 꼬리 영역에서 단순한 바운드보다 더 날카운 것으로 확인되었다.
• 제품 분포의 모멘트 계산을 통해 특정 메이저 G-함수에 대한 새로운 항등식을 수립하였다.
• 근사의 정밀도는 차원 수 N이 증가할수록 향상되며, 특히 메이저 G-함수 기반 바운드에서 두드러진다.