[논문 리뷰] On projective and affine equivalence of sub-Riemannian metrics

Frédéric Jean, Sofya Maslovskaya외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비등각적 강성(Conformally rigid)이 아닌 부분리만다이안 계량이 코탄젠트 번들의 섬유상에서 적어도 하나의 비자명한 이차 적분을 가지며, 그들의 노름화 근사에서 곱의 구조를 유도함을 밝힌다. 이는 일반적인 부분리만다이안 계량이 사영적 동치 하에서 등각적 강성임을 증명하며, 애핀 동치 하에서는 강성이 유지됨을 보여, 기하 제어 이론과 자코비 곡선 분석을 통해 고전적인 리만 기하학 결과를 부분리만다이안 기하학으로 확장한다.

ABSTRACT

Consider a smooth manifold $M$ equipped with a bracket generating distribution $D$. Two sub-Riemannian metrics on $(M,D)$ are said to be projectively (resp. affinely) equivalent if they have the same geodesics up to reparameterization (resp. up to affine reparameterization). A sub-Riemannian metric $g$ is called rigid (resp. conformally rigid) with respect to projective/affine equivalence, if any sub-Riemannian metric which is projectively/affinely equivalent to $g$ is constantly proportional to $g$ (resp. conformal to $g$). In the Riemannian case the local classification of projectively and affinely equivalent metrics is classical (Levi-Civita, Eisenhart). In particular, a Riemannian metric which is not rigid satisfies the following two special properties: its geodesic flow possesses nontrivial integrals and the metric induces certain canonical product structure on the ambient manifold. These classification results were extended to contact and quasi-contact distributions by Zelenko. Our general goal is to extend these results to arbitrary sub-Riemannian manifolds, and we establish two types of results toward this goal: if a sub-Riemannian metric is not projectively conformally rigid, then, first, its flow of normal extremals has at least one nontrivial integral quadratic on the fibers of the cotangent bundle and, second, the nilpotent approximation of the underlying distribution at any point admits a product structure. As a consequence we obtain two types of genericity results: first, we show that a generic sub-Riemannian metric on a fixed pair $(M,D)$ is projectively conformally rigid. Second, we prove that, except for special pairs $(m,n)$, every sub-Riemannian metric on a rank $m$ generic distribution in an $n$-dimensional manifold is projectively conformally rigid. For the affine equivalence in both genericity results conformal rigidity can be replaced by usual rigidity.

연구 동기 및 목표

• 사영적 및 애핀 동치에 대한 고전적인 리만 기하학 결과를 부분리만다이안 기하학으로 확장하기.
• 기하학적 및 대수적 장애물을 식별하여 비강성 부분리만다이안 계량을 특성화하기.
• 부분리만다이안 설정에서 등각적 및 표준 강성의 일반성 결과를 수립하기.
• 자코비 곡선의 구조와 그들이 부분리만다이안 계량의 동치류를 결정하는 데 수행하는 역할을 분석하기.
• 비등각적 강성이 아닌 계량은 반드시 비자명한 이차 첫 번째 적분을 가지며, 분해 가능한 노름화 근사를 가져야 한다는 것을 증명하기.

제안 방법

• 포트리아진 최대원리와 자코비 곡선을 사용하여 급성선과 정상적 외부 극값을 분석한다.
• 오비탈 미분형태 기법을 적용하여 부분리만다이안 계량의 사영적 및 애핀 동치를 연구한다.
• 기본 대수적 체계를 활용하여 동치 및 적분 가능성 조건을 유도한다.
• 노름화 근사를 사용하여 분포의 국소적 구조와 그들의 동치류를 연구한다.
• 압축 사상의 논리를 적용하여 충분한 코벡터와 2-결정 집합의 열린성과 조밀성을 보여준다.
• 지수 사상과 변형 이론을 활용하여 기하학적 및 대수적 조건(H.1)–(H.3)를 만족하는 유한한 점들의 집합을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 부분리만다이안 계량이 언제 사영적 동치가 되는가?
• RQ2 비등각적 강성이 아닌 부분리만다이안 계량이 가져야 할 기하학적 및 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 이차 첫 번째 적분의 존재는 노름화 근사의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 사영적 및 애핀 동치에 대해 부분리만다이안 계량의 일반적 행동은 어떠한가?
• RQ5 부분리만다이안 계량의 강성은 그들의 노름화 근사의 분해 가능성에 따라 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 사영적 동치 하에서 등각적 강성이 아닌 부분리만다이안 계량은 코탄젠트 번들의 섬유상에서 적어도 하나의 비자명한 이차 적분을 가진다.
• 임의의 점에서 비등각적 강성이 아닌 부분리만다이안 계량의 노름화 근사는 표준적인 곱의 구조를 가진다.
• 매니폴드 위의 고정된 분포에 대해, 일반적인 부분리만다이안 계량은 사영적 동치 하에서 등각적 강성이다.
• n차원 매니폴드 위의 랭크 $ m $ 분포에 대해 특수한 $ (m,n) $ 쌍을 제외한 일반적인 분포에 대해서는, 모든 부분리만다이안 계량이 사영적 동치 하에서 등각적 강성이다.
• 애핀 동치 하에서는 등각적 강성을 표준 강성으로 강화할 수 있다.
• 총 $ N = n(n+1)/2 $ 개의 2-결정 점의 존재는 이차 첫 번째 적분과 동치성에 관한 핵심 명제의 타당성을 보장한다.