[논문 리뷰] On projectivized vector bundles and positive holomorphic sectional curvature

A. Rodriguez Alvarez, Gordon Heier외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 27.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 히친의 구성 방식을 일반화하여, 정규화된 복소 벡터 다발의 프로젝티브화가 양의 복소 섹션 곡률을 가진 켈러 메트릭을 가짐을 증명한다. 증명은 프로젝티브 다발 위에 자연스러운 헤르미트 메트릭을 사용하며, 충분히 큰 매개수 λ에 대해, 곡률 텐서의 점별 추정을 통해 복소 섹션 곡률이 여전히 양수임을 보인다.

ABSTRACT

We generalize a construction of Hitchin to prove that, given any compact Kähler manifold $M$ with positive holomorphic sectional curvature and any holomorphic vector bundle $E$ over $M$, the projectivized vector bundle ${\mathbb P}(E)$ admits a Kähler metric with positive holomorphic sectional curvature.

연구 동기 및 목표

• 히르체브루흐 표면에서 히친의 결과를 양의 복소 섹션 곡률을 가진 컴acts 켈러 다양체 위의 임의의 프로젝티브 다발로 확장하는 것.
• 양의 복소 섹션 곡률을 가진 켈러 메트릭을 가진 다양체의 집합 $\mathcal{H}_n^\prime$ 에 속하는 새로운 컴팩트 복소 다양체의 클래스를 설정하는 것.
• 다발 구성 방법을 통해 양의 복소 섹션 곡률을 가진 다양체의 새로운 예를 구성적으로 생성하는 것.
• 프로젝티브화 과정에서 양의 복소 섹션 곡률의 안정성에 대해 탐구하는 것.
• 높은 차원에서의 양의 복소 섹션 곡률의 광범위한 기하학적 및 위상수학적 영향을 이해하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 기본 다양체 $M$ 위의 켈러 메트릭 $g$ 와 다발 $E$ 위의 헤르미트 메트릭 $h$ 에서 유도된 헤르미트 메트릭 $G$ 를 사용하여, $P = \mathbb{P}(E)$ 위에 닫힌 (1,1)-형식 $\omega_G = \lambda \pi^*\omega_g + \sqrt{-1} \partial\bar\partial \log h(v,\bar v)$ 를 구성한다. 여기서 $\lambda > 0$ 는 큰 매개수이다.
• 기본 다양체 $M$ 에서의 켈러 메트릭 $g$ 와 다발 $E$ 에서의 헤르미트 메트릭 $h$ 에서 유도된 헤르미트 메트릭 $G$ 를 $P$ 에 적용한다.
• 지역 좌표계를 사용하여 메트릭 $h$ 의 두 번째 도함수를 이용해 점 $p \in P$ 에서 메트릭 $G$ 의 곡률 텐서 $R$ 을 계산한다.
• 기저 방향과 피브어 방향의 성분을 가진 영이 아닌 $(1,0)$-벡터 $V = X + U$ 에 대해 복소 섹션 곡률 $R_{V\bar V V\bar V}$ 를 평가한다.
• 다음과 같은 추정을 사용한다: $R_{V\bar V V\bar V} \geq (\lambda H_0 - C)|X|^4 - 8C|X|^2|U|^2 + 2|U|^4 - 4C|X|^3|U|$, 여기서 $H_0 > 0$ 은 $g$ 의 최소 복소 섹션 곡률이다.
• 충분히 큰 $\lambda$ 에 대해, 모든 영이 아닌 $V$ 에 대해 이 표현식이 양수임을 보여, $P$ 에서의 양의 복소 섹션 곡률을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히친의 히르체브루흐 표면에서의 양의 복소 섹션 곡률 구성 방식을, 양의 복소 섹션 곡률을 가진 컴팩트 켈러 다양체 위의 임의의 프로젝티브 다발로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기본 다양체 $M$ 이 양의 복소 섹션 곡률을 가진 컴팩트 켈러 다양체이고, 다발 $E$ 가 그 위에 정의된 복소 벡터 다발일 때, $\mathbb{P}(E)$ 는 양의 복소 섹션 곡률을 가진 켈러 메트릭을 상속받는가?
• RQ3 매개수 $\lambda$ 가 어떤 조건을 만족하면, $\mathbb{P}(E)$ 에 유도된 메트릭의 복소 섹션 곡률이 여전히 양수로 유지되는가?
• RQ4 기본 다양체의 곡률과 피브어 다발의 곡률이 총공간의 복소 섹션 곡률에 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 양의 복소 섹션 곡률이 성립하는 조건에서, 이러한 다양체의 점 블로우업도 양의 스칼라 곡률을 가진 메트릭을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 양의 복소 섹션 곡률을 가진 컴팩트 켈러 다양체 $M$ 위의 임의의 복소 벡터 다발 $E$ 의 프로젝티브화인 $\mathbb{P}(E)$ 는 양의 복소 섹션 곡률을 가진 켈러 메트릭을 가진다.
• 이 구성은 매개수 $\lambda$ 를 사용하는 메트릭의 일족에 기반하며, $\lambda$ 는 기본 메트릭의 기여도를 조절한다. 충분히 큰 $\lambda$ 는 복소 섹션 곡률의 양수성을 보장한다.
• 유도된 메트릭의 복소 섹션 곡률은 접선 벡터의 기저 및 피브어 성분에 대한 4차 형식으로 아래에서 유계이다. 이 형식은 $\lambda$ 가 충분히 클 경우 양수가 된다.
• 결과는 그라스만다발 $G_k(E)$ 로도 확장되며, $\mathbb{P}(\Lambda^k E)$ 에 허미트적으로, 등거리적으로 임bedding 가능하므로, 이 역시 양의 복소 섹션 곡률을 가진 메트릭을 가진다.
• 보조정리 1.3 은 $\dim \mathbb{P}(E) > 2$ 일 때, $\mathbb{P}(E)$ 의 유한한 점 블로우업의 순서열이 양의 스칼라 곡률을 가진 켈러 메트릭을 가짐을 보여준다.
• 증명은 다발 $E$ 위의 헤르미트 메트릭 $h$ 의 두 번째 도함수를 사용한 점별 곡률 추정에 기반하며, 곡률 표현식의 주요 항이 $\lambda H_0$ 에 의해 제어됨을 보여, 여기서 $H_0 > 0$ 은 기본 다양체의 최소 복소 섹션 곡률이다.