[논문 리뷰] On Properties of Differential Inclusions with Prox-regular Sets

Ba Khiet Le|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 16.

Mathematical Control Systems and Analysis참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 균일하게 프록시멀-정규성 있는 집합의 법선 쌍대의 미분 포함에 대한 해의 정칙성 및 점점성 성질을 규명한다. 벡터장에 대한 접선 조건을 요구하지 않고도 성립한다. 해는 오른쪽 미분 가능하며, 도함수는 오른쪽 연속성을 지닌다. 기울기 유사 시스템에 대해 리아푸노프 유형 수렴 결과를 도출하여, 해가 집합 위에서 $C^{1,+}$ 잠재력 함수의 최솟값으로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, some regularity properties of solutions of the following differential inclusion \begin{equation} onumber \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}(t) \in f\big(x(t)\big) -N_{C}\big(x(t)\big)\; { m a.e.} \; t \in [0,+\infty), x(0) = x_0\in C, \end{array} ight. \end{equation} are analyzed where $f: H o H$ is Lipschitz continuous and $C$ is closed, uniformly prox-regular subset of a Hilbet space $H$. Here $N_{C}(\cdot)$ denotes the proximal normal cone of $C$. This work can be considered as an improvement of [Hantoute-Mazade 2013] since these properties are established without the additional tangential condition at each point in $C$.

연구 동기 및 목표

• 균일하게 프록시멀-정규성 있는 집합의 법선 쌍대를 포함하는 미분 포함의 해의 정칙성 성질을 분석하는 것.
• 접선 조건을 요구하지 않고 해의 오른쪽 미분 가능성과 도함수의 오른쪽 연속성을 확립하는 것.
• 벡터장이 $C^{1,+}$ 함수의 음의 기울기일 경우 해의 점점성 행동을 조사하는 것.
• 볼록성과 유계성 조건 하에서 해가 집합 위에서 잠재력 함수의 최솟값을 최소화함을 보이는 것.

제안 방법

• 분석은 힐버트 공간에서의 프록시멀-정규성 집합과 법선 쌍대 이론, 특히 극한 법선 쌍대 $N(C,x)$에 기반한다.
• 프록시멀 법선 쌍대와 거리 사영의 성질을 이용하여 해가 국소적으로 절대 연속적이며 오른쪽 미분 가능하다는 것을 보였다.
• 미분 포함의 구조와 $f$의 리프시츠 연속성에 의해 도함수 $\dot{x}^+(t)$가 오른쪽 연속임을 증명하였다.
• 점점성 분석을 위해 시스템을 $\dot{x}(t) \in -\nabla V(x(t)) - N(C,x(t))$로 재구성하고, $V(x(t))$의 시간 도함수를 계산하여 거의 모든 $t \geq 0$ 에서 $\frac{d}{dt}V(x(t)) + \|\dot{x}(t)\|^2 = 0$ 이 성립함을 보였다.
• $\varphi(t) = \frac{1}{2}\|x(t)-y\|^2$ 에 대해 그론월의 부등식을 적용하여, $r$-프록시멀-정규성과 $V$의 볼록성 조건 하에서 수렴 한계를 도출하였다.
• 해가 거의 모든 곳에서 $\dot{x}(t) + \nabla V(x(t)) \in -N(C,x(t))$ 임을 이용하여, $C$의 점들로의 거리에 대한 하향 기울기 부등식이 성립함을 증명하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터장 $f$가 리프시츠이고 집합 $C$가 균일하게 프록시멀-정규성일 때, 미분 포함 $\dot{x}(t) \in f(x(t)) - N_C(x(t))$ 의 해가 오른쪽 미분 가능하고 도함수가 오른쪽 연속성을 가질까?
• RQ2 접선 조건 $f(x) \in T(C,x)$ 를 부과하지 않고도 해의 정칙성 성질를 확립할 수 있을까?
• RQ3 벡터장 $f(x) = -\nabla V(x)$ 이고 $V$가 $C^{1,+}$ 일 경우 해의 점점성 행동는 어떠한가?
• RQ4 해가 집합 $C$ 위에서 $V$의 최솟값으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 해 $x(\cdot)$ 는 $[0,\infty)$ 에서 오른쪽 미분 가능하며, 각 $t \geq 0$ 에서 $\dot{x}^+(\cdot)$ 는 오른쪽 연속성이다.
• 만약 $f(x) = -\nabla V(x)$ 이고 $V$ 가 $C^{1,+}$ 이면 거의 모든 $t \geq 0$ 에서 $\frac{d}{dt}V(x(t)) + \|\dot{x}(t)\|^2 = 0$ 이 성립한다.
• 만약 $V$ 가 강한 강성 조건을 만족하면, $x(\cdot)$ 는 $[0,\infty)$ 에서 유계이다.
• 만약 $V$ 가 $C$ 위에서 아래로 유계이면, $\lim_{t \to \infty} V(x(t)) = V_\infty$ 가 존재하고 $\int_0^\infty \|\dot{x}(s)\|^2 ds = V(x_0) - V_\infty$ 이다.
• 만약 $V$ 가 볼록이고 $C$ 위에서 아래로 유계이면, $V_\infty = \inf_{y \in C} V(y)$ 이므로 궤적은 $C$ 위에서 $V$ 를 최소화한다.