[논문 리뷰] On q analog of McKay correspondence and ADE classification of affine sl(2) conformal field theories

Alexander Kirillov, Viktor Ostrik|arXiv (Cornell University)|2001. 01. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 루트 오브 유니티 수준 q = e^{πi/l}에서 양자군 U_q sl(2)의 유한 부분군에 대한 카테고리적 정의를 제안하며, 고전적 McKay 대응을 일반화한다. 이는 Coxeter 수 l을 가진 A_n, D_{2n}, E_6, E_8 유형의 딜린 다이어그램을 통해 이러한 부분군을 분류하며, 수준 k = l-2인 애파인 sl(2) conformal field theory에서의 모듈러 불변성과 연결된다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to classify ``finite subgroups in U_q sl(2)'' where $q=e^{\pi\i/l}$ is a root of unity. We propose a definition of such a subgroup in terms of the category of representations of U_q sl(2); we show that this definition is a natural generalization of the notion of a subgroup in a reductive group, and that it is also related with extensions of the chiral (vertex operator) algebra corresponding to sl^(2) at level k=l-2. We show that ``finite subgroups in U_q sl(2)'' are classified by Dynkin diagrams of types A_n, D_{2n}, E_6, E_8 with Coxeter number equal to $l$, give a description of this correspondence similar to the classical McKay correspondence, and discuss relation with modular invariants in (sl(2))_k conformal field theory.

연구 동기 및 목표

• 표현의 카테고리에 의해 q = e^{πi/l}에서의 U_q sl(2)에서의 유한 부분군을 정의한다.
• 고전적 McKay 대응을 양자군 설정으로 일반화한다.
• 이러한 부분군을 수준 k = l-2에서 sl^(2)의 카이랄 대수의 확장과 연결한다.
• Coxeter 수가 l인 딜린 다이어그램을 사용하여 이러한 부분군을 분류한다.
• 분류를 (sl(2))_k conformal field theory에서의 모듈러 불변성과 연결한다.

제안 방법

• 표현의 텐서 카테고리에 의해 재수성 군에서의 군-부분군 관계를 일반화함으로써 U_q sl(2)에서의 유한 부분군을 정의한다.
• U_q sl(2)의 표현 카테고리를 사용하여 군처럼 행동하는 부분대상의 동치류를 정의한다.
• 융합 규칙과 표현 그래프를 분석함으로써 이러한 부분군과 딜린 다이어그램 사이의 대응을 수립한다.
• 딜린 다이어그램의 Coxeter 수가 q = e^{πi/l}에서의 순서 매개변수 l과 일치한다는 사실을 활용한다.
• 모듈러 S행렬과 표현 이론을 통해 (sl(2))_k conformal field theory에서의 모듈러 불변성과 분류를 연결한다.
• 루트 오브 유니티에서의 양자군의 구조를 활용하여 분류의 유한성과 정수성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 재수성 군에서의 부분군 개념을 일반화하여 q = e^{πi/l}에서의 U_q sl(2)에서의 유한 부분군을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 양자 부분군과 A_n, D_{2n}, E_6, E_8 유형의 딜린 다이어그램 사이의 정확한 대응은 무엇인가?
• RQ3 이 분류는 수준 k = l-2에서 sl^(2)의 카이랄 대수의 확장과 어떤 방식으로 연결되는가?
• RQ4 이 양자 McKay 대응은 (sl(2))_k conformal field theory의 모듈러 불변성을 어떻게 재현하거나 일반화하는가?
• RQ5 Coxeter 수 l은 이러한 양자 부분군을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• q = e^{πi/l}에서의 U_q sl(2)에서의 유한 부분군은 Coxeter 수가 l인 A_n, D_{2n}, E_6, E_8 유형의 딜린 다이어그램으로 분류된다.
• 양자 부분군과 딜린 다이어그램 사이의 대응은 고전적 McKay 대응을 모방하지만, 표현 카테고리의 관점에서 서술된다.
• 이 분류는 수준 k = l - 2에서의 (sl(2))_k conformal field theory의 모듈러 불변성의 구조와 깊이 연결되어 있다.
• 양자 부분군의 정의는 텐서 카테고리의 카테고리적 프레임워크와 일관되며, 군-부분군 포함의 일반화를 이룬다.
• 딜린 다이어그램의 Coxeter 수는 정확히 q = e^{πi/l}에서의 순서 매개변수 l과 일치한다.
• 이 구성은 양자군 표현 이론, conformal field theory, 그리고 ADE 분류 사이의 자연스러운 다리를 제공한다.