[논문 리뷰] On q-fractional derivatives of Riemann--Liouville and Caputo type

Miomir S. Stanković, Predrag M. Rajković외 1명|ArXiv.org|2009. 09. 02.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 매개변수 하한 한계를 가진 q-적분을 사용하여 Riemann–Liouville 및 Caputo 유형의 q-분수도함수를 도입한다. 이를 통해 임의의 점에서의 초기 조건을 가능하게 한다. 주요 기여는 이러한 연산자에 대한 조합 항등식과 준군 성질을 수립한 것으로, 적절한 조건 하에서 기본 관계 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ 및 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q,a}^{\beta}f = f $ 가 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

Based on the fractional $q$-integral with the parametric lower limit of integration, we define fractional $q$-derivative of Riemann-Liouville and Caputo type. The properties are studied separately as well as relations between them. Also, we discuss properties of compositions of these operators.

연구 동기 및 목표

• q-적분과 도함수에 대해 하한 한계를 매개변수화하여 q-분수미분학을 일반화한다.
• 임의의 하한 한계를 가진 Riemann–Liouville 및 Caputo 유형의 q-분수도함수를 정의하고 연구한다.
• q-분수적분 및 도함수 연산자 간의 조합 성질과 준군 행동을 수립한다.
• q-분수미분방정식에서의 초기 조건 문제를 비영인 하한 한계를 允허함으로써 해결한다.
• 기존의 q-계산 프레임워크를 확장하여 임의의 초기점에서의 기억 효과 모델링을 지원한다.

제안 방법

• 하한 한계 $ a $를 매개변수로 하는 q-분수적분 $ I_{q,a}^{\beta}f $ 를 정의하여 기존의 $ I_{q,0}^{\beta}f $ 를 일반화한다.
• Riemann–Liouville 유형의 q-도함수 $ D_{q,a}^{\beta}f $ 는 $ I_{q,a}^{1-\beta}f $ 의 $ \beta $-차 수준 q-도함수로 정의한다.
• Caputo 유형의 q-도함수 $ {}_{\bullet}D_{q,a}^{\beta}f $ 는 $ I_{q,a}^{1-\beta}f $ 의 q-도함수를 사용하여 정의하며, 초기 조건은 $ a $ 에서 설정한다.
• 연산자 항등식을 표현하기 위해 $ q $-Pochhammer 기호, $ q $-감마 함수, $ q $-초함수를 활용한다.
• 항등식 $ S(\beta,\beta,\nu) $ 와 $ q $-이항계수를 이용하여 조합 정리를 증명한다.
• 매개변수 하한 한계를 가진 $ q $-도함수 및 적분 연산자의 반복 적용을 통해 준군 성질을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분의 하한 한계가 변수 매개변수 $ a $ 라면, Riemann–Liouville 및 Caputo 유형의 q-분수도함수는 어떻게 일관적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 매개변수 하한 한계를 가진 q-분수적분과 도함수 간의 조합 성질은 무엇인가?
• RQ3 q-적분과의 조합에서 Riemann–Liouville 및 Caputo 유형의 q-도함수 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 하한 한계 $ a $ 가 0이 아닐 경우에도 준군 성질 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ 가 유지되는가?
• RQ5 순서 $ \alpha $ 가 정수일 경우 조합 항등식에 어떤 수정이 필요한가?

주요 결과

• 적절한 함수 공간 내에서 항등식 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ 가 성립하며, 이는 고전적인 준군 성질을 매개변수 하한 한계로 일반화한 것이다.
• 비정수 $ \beta $ 에서는 조합 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q,a}^{\beta}f = f $ 가 성립하지만, $ \beta \in \mathbb{N} $ 일 경우 수정 항이 나타난다.
• 정수 $ \alpha = n $ 일 경우 항등식 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q}^{n}f = D_{q,a}^{n-\beta}f - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(D_{q}^{k}f)(a)}{\Gamma_{q}(\beta - n + k + 1)} x^{\beta - n + k}(a/x;q)_{\beta - n + k} $ 가 성립한다.
• 비정수 $ \alpha $ 에 대해 조합 $ {}_{\bullet}D_{q,a}^{\alpha} I_{q,a}^{\beta}f = D_{q,a}^{\alpha - \beta}f + \sum_{k=0}^{\lceil \alpha - \beta \rceil - 1} \frac{(D_{q}^{k}f)(a)}{\Gamma_{q}(k - \alpha + \beta + 1)} x^{k - \alpha + \beta}(a/x;q)_{k - \alpha + \beta} $ 가 성립함을 수립하였다.
• $ a \leq c < x $ 인 경우 항등식 $ I_{q,c}^{\alpha} D_{q,a}^{\alpha}f = I_{q,c}^{\alpha - \lceil \alpha \rceil + 1} D_{q,a}^{\alpha - \lceil \alpha \rceil + 1}f - \sum_{k=1}^{\lceil \alpha \rceil - 1} \frac{(D_{q,a}^{\alpha - k}f)(c)}{\Gamma_{q}(\alpha - k + 1)} x^{\alpha - k}(c/x;q)_{\alpha - k} $ 가 성립하며, 이는 하한 한계를 매개변수화한 이동 성질의 일반화이다.