[논문 리뷰] On q-statistical approximation of wavelets aided Kantorovich q-Baskakov operators

M. Mursaleen, P. Lamichhane외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 16.

Approximation Theory and Sequence Spaces인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 공간에서 파생된 파라미터 $\rho_{\alpha}$에 대한 보만-코로빈킨 유형 정리와 가중 모드의 부드러움 $\omega_{\rho_{\alpha}}$를 사용하여 웨이블릿 기반 칸토로비치 $q$-바스카코프 연산자의 가중 통계적 근사 성질을 조사한다. 리프시츠 유형 최대 함수를 통한 통계적 수렴 속도를 확립하여, 연산자가 $q$-정수와 부드러움 파rameter에 따라 가중 노름에서 통계적으로 수렴함을 보이며, 수렴 속도는 이들에 의존한다.

ABSTRACT

The aim of this research is to examine various statistical approximation properties with respect to Kantorovich extit{ ext{ exthtq}}-Baskakov operators using wavelets. We discuss and investigate a weighted statistical approximation employing a Bohman-Korovkin type theorem as well as a statistical rate of convergence applying a weighted modulus of smoothness $ω_{ρ_α}$ correlated with the space $B_{ρα}(\mathbb{R_{+}})$ and Lipschitz type maximal functions. Both topics are covered in the article.

연구 동기 및 목표

• 웨이블릿 기반 칸토로비치 $q$-바스카코프 연산자의 가중 통계적 근사 행동을 분석하는 것.
• 가중 모드의 부드러움 $\omega_{\rho_{\alpha}}$를 사용하여 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$에서 통계적 수렴 속도를 확립하는 것.
• 클래식 근사 결과를 웨이블릿 기반 局부 정밀화를 통한 $q$-해석으로 확장하는 것.
• 수치적 예제와 그래픽 분석을 통해 수렴을 보여주는 것.
• 통계적 수렴 속도가 모멘트에서는 고전적 $q$-바스카코프 연산자와 일치하지만, 웨이블릿 국부화로 인해 향상됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 공간 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$에서 가중 통계적 근사에 대해 보만-코로빈킨 유형 정리를 사용한다.
• 수렴 속도를 정량화하기 위해 가중 모드의 부드러움 $\omega_{\rho_{\alpha}}$를 활용한다.
• 통계적 수렴에서 근사 오차를 제한하기 위해 리프시츠 유형 최대 함수를 적용한다.
• 연산자 $\mathcal{S}_{n,s,q}(x)$의 모멘트 추정을 유도하며, $\mathcal{S}_{n,s,q}(\mu_{x,\alpha}^2; x)$ 및 $\mathcal{S}_{n,s,q}(\phi_x^2; x)$ 포함.
• $q$-정수와 $q$-미적분을 사용하여 웨이블릿 지원이 있는 칸토로비치 유형 $q$-바스카코프 연산자를 정의한다.
• $n \to \infty$로 갈수록의 渐近 행동을 분석하기 위해 $st$-극한을 통한 통계적 수렴을 활용한다.

Figure 1. convergence of the operator towards the function $\text{}(x)=(x-\frac{1}{5})(x-\frac{4}{9})$

실험 결과

연구 질문

• RQ1 웨이블릿 기반 칸토로비치 $q$-바스카코프 연산자는 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$에서 어떻게 가중 통계적 근사를 달성하는가?
• RQ2 이 연산자의 통계적 수렴 속도는 무엇이며, 이는 부드러움 모드 $\omega_{\rho_{\alpha}}$에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $q$-미적분 하에서 연산자의 모멘트는 수렴 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 $q$-정수와 웨이블릿 기반 국부화를 사용하여 통계적 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ5 부드러움과 $q$-파라미터 의존성 측면에서 이 수렴 속도는 고전적 $q$-바스카코프 연산자와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 연산자 $\mathcal{S}_{n,s,q}(x)$는 $n \to \infty$일 때 가중 노름 $\|\cdot\|_{\rho_{\alpha}}$에서 $f(x)$로 통계적으로 수렴한다.
• 통계적 수렴 속도는 $3C_{\alpha}\omega_{\rho_{\alpha}}(f; \delta_n)$로 유계이며, 여기서 $\delta_n = \sqrt{1/[n]_q}$이다.
• 수열 $\delta_n$은 통계적으로 0 수렴하며, 따라서 $st$-$\lim_{n \to \infty} \omega_{\rho_{\alpha}}(f; \delta_n) = 0$이다.
• 모멘트 추정에서 $\mathcal{S}_{n,s,q}(\mu_{x,\alpha}^2; x) \leq \frac{1}{[n]_q} \|e_2\|_{\rho_{\alpha}} + \frac{3}{[n]_q} \|e_2\|_{\rho_{\alpha}}$를 도출한다.
• 그래픽적 예제는 $f(x) = (x-1/5)(x-4/9)$, $f(x) = x^2 - 1$, $f(x) = x^2 - 4x + 3$에 대해 $n = 10, 30, 60, 80$일 때 수렴을 확인한다.
• 근사 행동은 고전적 $q$-바스카코프 연산자와 모멘트에서 일치하지만, 웨이블릿 국부화로 인해 국부 정밀화가 향상된다.

Figure 2. convergence of the operator towards the function $\text{}(x)=x^{2}-1$