[논문 리뷰] On quantized stochastic Navier-Stokes equations

R. Mikulevíčius, B. L. Rozovskiĭ|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 23.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 22인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 움직임의 비선형성에 움직임 유형의 비선형성을 도입한 양자화된 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식을 제안한다. 이는 비선형 항 $ u\nabla u $ 의 최고차수 스토하스틱 근사로 랜덤 변동을 모델링한다. 캠브리지-마틴 위erner 카오스 전개를 사용하여, 마코프 과정이 되는 일반화된 해를 수립하며, 그 기댓값은 결정론적 나비에-스토크스 해를 복원하여 불편성 있는 유체역학의 불확실성 하에서의 스토하스틱 모델링을 보장한다.

ABSTRACT

Abstract. A random perturbation of a deterministic Navier-Stokes equation is considered in the form of an SPDE with Wick type nonlinearity. The nonlinear term of the perturbation can be characterized as the highest stochastic order approximation of the original nonlinear term u∇u. This perturbation is unbiased in that the expectation of a solution of the perturbed/quantized equation solves the deterministic Navier-Stokes equation. The perturbed equation is solved in the space of generalized stochastic processes using the Cameron-Martin version of the Wiener chaos expansion. The generalized solution can be obtained as a limit or an inverse of solutions to corresponding quantized equations. It is shown that the generalized solution is a Markov process. 1.

연구 동기 및 목표

• 제어된 스토하스틱 비선형성을 가진 확률적 편미분방정식(SPDE)을 사용하여 결정론적 나비에-스토크스 방정식의 랜덤 변동을 모델링한다.
• 해의 기댓값이 결정론적 나비에-스토크스 해를 복원하도록 요구하여 변동이 비편향임을 보장한다.
• 일반화된 스토하스틱 과정의 공간에서 편향된 방정식에 대한 일반화된 해 프레임워크를 개발한다.
• 해를 마코프 과정으로 특성화하여 스토하스틱 유체역학의 확률적 분석을 가능하게 한다.
• 양자화된 SPDE와 원래 결정론적 시스템 간의 연결을 극한 또는 역구성 방법을 통해 수립한다.

제안 방법

• 비선형 항을 위저 곱으로 정의한 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식을 수립하여, $ u\nabla u $ 의 최고차수 스토하스틱 근사로 표현한다.
• 해를 가우시안 랜덤 변수에서의 정규직교 다항식 카오스 전개로 표현하기 위해 캠브리지-마틴 위너 카오스 전개의 버전을 적용한다.
• 일반화된 스토하스틱 과정의 공간에서 편향된 방정식을 해결하여, 고전적 함수를 초월한 분포 해를 允허한다.
• 일반화된 해를 해당 양자화된 방정식의 해들의 극한 또는 역구성으로 유도하여, 스토하스틱 구조와의 일致성을 확보한다.
• 전이 확률과 시간에 따른 진화를 분석하여 일반화된 해의 마코프 성질을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기댓값이 결정론적 해를 복원하도록 하는 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식의 변동은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 원래의 $ u\nabla u $ 항의 구조를 유지하면서 카오스 전개 방법과 호환되는 적절한 스토하스틱 비선형성은 무엇인가?
• RQ3 양자화된 SPDE의 일반화된 해가 마코프 과정임을 입증할 수 있는가?
• RQ4 위너 카오스 전개 프레임워크는 일반화된 스토하스틱 과정 공간에서 해를 어떻게 구성하는가?
• RQ5 양자화된 방정식의 해들과 일반화된 해 사이의 관계는 극한 또는 역구성의 관점에서 어떻게 설명되는가?

주요 결과

• 위저 곱을 통한 제안된 스토하스틱 비선형성은 결정론적 비선형 항 $ u\nabla u $ 의 최고차수 스토하스틱 근사로, 원래 역학에 대한 충실도를 보장한다.
• 양자화된 SPDE의 일반화된 해의 기댓값은 정확히 결정론적 나비에-스토크스 방정식을 만족하며, 변동의 비편향성 확인한다.
• 일반화된 해는 일반화된 스토하스틱 과정의 공간에 존재하며, 캠브리지-마틴 위너 카오스 전개를 통해 구성된다.
• 일반화된 해는 마코프 과정이므로 전이 밀도 및 마코프 세미군과 같은 확률 도구의 적용이 가능하다.
• 해는 해당 양자화된 방정식의 해들의 극한 또는 역구성으로 얻을 수 있으며, 일致한 해의 계층을 수립한다.
• 이 프레임워크는 원래 시스템의 핵심 구조적 및 통계적 성질을 유지하는 엄밀한 스토하스틱 확장이다.