[논문 리뷰] On Quantum Communication Channels with Constrained Inputs

A. S. Holevo|ArXiv.org|1997. 05. 30.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 11인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 에너지 제약이 있는 입력을 갖는 양자 통신 채널—특히 에너지 제약이 있는 양자 가우시안 채널—의 용량을 증명함으로써 그 용량이 제약 조건을 만족하는 모든 입력 분포에 대해 양자 상호정보량(엔트로피 경계)의 상한값과 같음을 규명한다. 순수 상태 가우시안 채널의 신뢰도 함수에 대해 명시적인 공식을 유도하여, 비틀림 없는 고전적 광자 채널과의 점점 가까운 점근적 동치성을 보여주지만 오차 지수 행동은 다름을 밝힌다.

ABSTRACT

The purpose of this work is to extend the result of previous papers quant-ph/9611023, quant-ph/9703013 to quantum channels with additive constraints onto the input signal, by showing that the capacity of such channel is equal to the supremum of the entropy bound with respect to all apriori distributions satisfying the constraint. We also make an extension to channels with continuous alphabet. As an application we prove the formula for the capacity of the quantum Gaussian channel with constrained energy of the signal, establishing the asymptotic equivalence of this channel to the semiclassical photon channel. We also study the lower bounds for the reliability function of the pure-state Gaussian channel.

연구 동기 및 목표

• 입력 신호에 대해 덧셈적 제약(에너지 제한 포함)이 있는 경우에 대한 양자 채널 용량 이론을 확장하기 위해.
• 이러한 제약 조건이 있는 채널의 용량이 모든 유효한 입력 분포에 대해 엔트로피 경계의 상한값과 같음을 입증하기 위해.
• 에너지 제약 조건 하에서 순수 상태 가우시안 채널의 신뢰도 함수(오차 지수)를 분석하기 위해.
• 용량 측면에서 양자 가우시안 채널과 비틀림 없는 고전적 광자 채널 간의 점점 가까운 점근적 동치성을 보여주되, 오차 행동은 다름을 입증하기 위해.

제안 방법

• 제약된 입력 분포에 대해 엔트로피 경계를 정의하기 위해 폰 노이만 엔트로피와 양자 상호정보량을 사용한다.
• 입력 제약 조건 하에서 용량 경계의 달성 가능성을 증명하기 위해 수정된 분포를 사용한 랜덤 코딩 방법을 적용한다.
• 보조 매개변수에 대한 최적화를 통해 갈라저 유형의 경계(특히 추출 및 랜덤 코딩 경계)를 이용해 신뢰도 함수를 유도한다.
• 특정 경우에 경계를 분석적으로 평가하기 위해 최적 입력 분포 하에서 출력 상태의 모멘트 생성 함수를 계산한다.
• 연속 알파벳 케이스에서 밀도 연산자의 거듭제곱의 트레이스를 평가하기 위해 코herent 상태 표현과 가우시안 적분 항등식을 사용한다.
• 신뢰도 함수를 유도하기 위해 매개변수 s와 p에 대한 분석적 및 수치적 최적화를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 신호 에너지가 제약되어 있을 경우 양자 가우시안 채널의 용량은 무엇인가?
• RQ2 순수 상태 가우시안 채널의 신뢰도 함수(오차 지수)는 고전적 가우시안 채널과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 용량 측면에서 양자 가우시안 채널과 비틀림 없는 고전적 광자 채널 간에 점점 가까운 점근적 동치성이 존재하는가, 비록 오차 행동에 차이가 있더라도?
• RQ4 어떤 조건에서 엔트로피 경계가 최대화되어 입력 제약 조건 하에서 채널 용량을 도출할 수 있는가?
• RQ5 추출 및 랜덤 코딩 경계가 순수 상태 가우시안 채널에 대해 분석적으로 평가될 수 있는가?

주요 결과

• 에너지 제약이 있는 양자 가우시안 채널의 용량은 $ C = (E+1)\log(E+1) - E\log E $ 로 주어지며, 이는 비틀림 없는 고전적 광자 채널 용량과 일치한다.
• 순수 상태 가우시안 채널의 신뢰도 함수 $ E_{ex}(R) $ 는 명시적으로 유도되었으며, 낮은 비트 전달률에서 $ E_r(R) $ 보다 크다는 것이 입증되어 더 나은 오차 감쇠를 나타낸다.
• 비트 전달률 $ R < \frac{\partial}{\partial s}\mu(\pi,1,p(1,E)) $ 인 경우, 추출 경계에서 최적의 $ s $ 는 $ s = E / \sqrt{e^{2R} - e^R} $ 로 주어지며, 이에 따라 $ E_{ex}(R) = 2E(1 - \sqrt{1 - e^{-R}}) $ 가 된다.
• 신뢰도 함수 $ E_r(R) $ 는 식 (40)에 암묵적으로 주어지며, 낮은 비트 전달률 영역에서 $ E_{ex}(R) > E_r(R) $ 임이 입증된다.
• 비록 용량이 동일하지만, 순수 상태 가우시안 채널은 비틀림 없는 고전적 광자 채널과는 달리 다른 오차 지수 행동을 보이며, 이는 $ R < C $ 일 때 오차 확률이 0이 아니라는 것을 의미한다.
• 모멘트 생성 함수 $ \mu(\pi,s,p) $ 의 최대화는 $ s=0,1 $ 에서 해석 가능한 식 (44)를 도출하지만, 일반적으로는 수치적 해법이 필요하다.