[논문 리뷰] On Quantum Complexity

Mohsen Alishahiha|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 29.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에너지 고유상태 기저에서 양자 연산자의 행렬 원소에 대한 일반적인 조건을 제안하며, 이 조건은 열화 이후에도 기대값의 늦은 시기 선형 증가를 유도한다. 이는 연산자의 행렬 원소에 이중극(double pole) 구조를 요구함으로써 달성된다. 주요 결과는 이러한 조건이 히알로그래픽 및 크리로프 복잡도에서 관찰되는 것과 유사하게 양자 복잡도의 선형 증가를 재현하며, 힐버트 공간 차원 D의 주어진 시간에서 포화됨을 보여준다.

ABSTRACT

The ETH ansatz for matrix elements of a given operator in the energy eigenstate basis results in a notion of thermalization for a chaotic system. In this context for a certain quantity - to be found for a given model - one may impose a particular condition on its matrix elements in the energy eigenstate basis so that the corresponding quantity exhibit linear growth at late times. The condition is to do with a possible pole structure the corresponding matrix elements may have. Based on the general expectation of complexity one may want to think of this quantity as a possible candidate for the quantum complexity. We note, however, that for the explicit examples we have considered in this paper, there are infinitely many quantities exhibiting similar behavior.

연구 동기 및 목표

• 열화 이후에도 기대값의 늦은 시기 선형 증가를 유도하는 연산자 행렬 원소에 대한 일반 조건을 규명하는 것.
• 이 조건이 카오스적 시스템에서 유한한 엔트로피를 가진 양자 복잡도와 어떻게 연결되는지 이해하는 것.
• 제안된 조건이 히알로그래픽 및 크리로프 복잡도의 알려진 행동(선형 증가 및 포화)을 재현함을 보이는 것.
• A-함수(에너지 기저에서의 행렬 원소)와 그의 극 구조가 양자 관측량의 늦은 시기 역학을 결정하는 데 어떤 역할을 하는지 명확히 하는 것.
• ETH 추측과 카오스적 시스템에서의 보편적 상관 구조를 통해 복잡도 증가가 어떻게 유도되는지 연결하는 것.

제안 방법

• 역온도 β를 가진 밀도 행렬을 사용하여 시간에 따라 진화하는 연산자 O의 열적 기대값인 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 를 정의한다.
• 행렬 원소 $A(E_1,E_2) = \langle E_1|\mathcal{O}|E_2\rangle$ 와 상태 밀도 $\rho_\psi(E_1,E_2)$ 를 사용하여 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 를 표현한다.
• 행렬 원소 $A(E_1,E_2)$ 에 이중극 구조를 도입하며, 특히 $A \sim 1/(E_1 - E_2)^2$ 를 요구함으로써 밀도-밀도 상관 함수의 비연결 부분에서 선형 시간 의존성을 생성한다.
• 카오스적 시스템에서의 국소적 상관을 모델링하기 위해 연결된 상관 함수 $\rho_c(\varepsilon,\omega) \approx -\sin^2(D\omega\rho(\varepsilon))/(D\omega)^2$ 의 사인 커널 형태를 사용한다.
• 비연결 부분이 늦은 시기($t \ll D$)에 선형 증가를 유도하는 반면, 연결 부분은 $\omega \ll 1$ 영역에서 $t \sim D$ 에서 포화를 일으킴을 보인다.
• 연산자 $\mathcal{O}$ 가 크리로프 기저의 레이블 연산자일 경우, 랑츠코efficient가 일정값으로 수렴함으로써 이중극 구조가 유도되므로, 크리로프 복잡도 프레임워크가 특수한 경우로 나타남을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 고유상태 기저에서 연산자의 행렬 원소에 어떤 조건이 적용되어야 늦은 시기 시간에 따라 진화하는 기대값의 선형 증가가 발생하는가?
• RQ2 연산자 행렬 원소의 이중극 구조는 어떻게 선형 양자 복잡도 증가의 기원과 관련되는가?
• RQ3 카오스적 시스템에서 보편적인 랜덤 매트릭스 이론 상관 구조로부터 $t \sim D$ (힐버트 공간 차원)에서 복잡도의 포화가 유도될 수 있는가?
• RQ4 제안된 조건이 크리로프 복잡도의 알려진 행동, 특히 선형 증가 단계를 어떤 식으로 재현하는가?
• RQ5 시스템이 이미 열적 평형 상태일 때, ETH 추측은 복잡도의 늦은 시기 행동과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 연산자 $\mathcal{O}$ 의 행렬 원소 $A(E_1,E_2)$ 에 이중극 구조—특히 $A \sim 1/(E_1 - E_2)^2$ —가 존재하면, 늦은 시기 기대값 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 에 선형 증가가 발생한다.
• 선형 증가 단계는 $t \ll D$ 에서 발생하며, 여기서 $D = e^S$ 는 힐버트 공간 차원이다. 이는 밀도-밀도 상관 함수의 비연결 부분이 지배한다.
• 복잡도의 포화는 $t \sim D$ 에서 발생하며, 보편적인 사인 커널 $\rho_c(\varepsilon,\omega) \approx -\sin^2(D\omega\rho(\varepsilon))/(D\omega)^2$ 로 모델링된 연결 상관 항에 의해 유도된다.
• 포화 메커니즘은 매우 늦은 시기의 ETH 유사 행동과 일치하며, 이 경우 비연결 부분만으로도 늦은 시기의 일정한 값이 잘 설명된다.
• 제안된 프레임워크는 $\mathcal{O}$ 가 크리로프 기저의 레이블 연산자일 경우 크리로프 복잡도를 재현하며, 이중극 구조는 랑츠코efficient의 포화로부터 유도된다.
• 전체 표현식 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 는 늦은 시기, $\omega \sim 1/t \ll 1$ 에서 $1/\omega^2$ 항이 지배적이며 선형 증가를 유도하는 반면, 사인 커널 항은 $t \sim D$ 에서 적분을 억제하여 포화를 유도한다.