[논문 리뷰] On Realization Theory of Quantum Linear Systems

John Gough, Guofeng Zhang|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 06.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순한 행렬 질량 조건을 통해 제어 가능성과 관측 가능성의 등가성을 증명하고, 수동 시스템에 대한 최소 실현을 유도함으로써 양자 선형 시스템에 대한 실현 이론을 수립한다. 최소 실현이 허위츠 안정성을 가지며, 손실이 없는 양의 실수 행렬 함수와 연결된 명시적 구성 방법(독립 진동자 및 체인 모드 실현)을 제공한다. 이를 통해 최소 실현의 기수 및 분수 전이 함수 표현을 계산할 수 있다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the realization theory of quantum linear systems. It is shown that for a general quantum linear system its controllability and observability are equivalent and they can be checked by means of a simple matrix rank condition. Based on controllability and observability a specific realization is proposed for general quantum linear systems in which an uncontrollable and unobservable subspace is identified. When restricted to the passive case, it is found that a realization is minimal if and only if it is Hurwitz stable. Computational methods are proposed to find the cardinality of minimal realizations of a quantum linear passive system. It is found that the transfer function of a quantum linear passive system $G$ can be written as a fractional form in terms of a matrix function $Σ$; moreover, $G$ is lossless bounded real if and only if $Σ$ is lossless positive real. A type of realization for multi-input-multi-output quantum linear passive systems is derived, which is closely related to its controllability and observability decomposition. Two realizations, namely the independent-oscillator realization and the chain-mode realization, are proposed for single-input-single-output quantum linear passive systems, and it is shown that under the assumption of minimal realization, the independent-oscillator realization is unique, and these two realizations are related to the lossless positive real matrix function $Σ$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 양자 선형 시스템에 대한 포괄적인 실현 이론을 개발하기 위해.
• 행렬 질량 조건을 사용하여 제어 가능성과 관측 가능성의 등가성을 수립하기 위해.
• 일반적인 양자 선형 시스템에서 비제어 가능 및 비관측 가능 부분공간을 식별하기 위해.
• 허위츠 안정성에 의해 최소 실현을 특성화함으로써 양자 선형 수동 시스템의 최소 실현을 기술하기 위해.
• SISO 및 MIMO 케이스에서 최소 실현의 기수를 결정하는 계산 방법을 유도하기 위해.

제안 방법

• 비제어 가능 및 비관측 가능 부분공간을 행렬 질량 조건을 통해 식별함으로써 일반 양자 선형 시스템의 캐논리컬 분해를 제안한다.
• 유니터리 변환을 사용하여 시스템 변수를 재표현함으로써 명시적 해밀토니안 및 결합 연산자를 갖는 구조화된 실현을 가능하게 한다.
• 행렬 함수 Σ에 대한 분수 표현을 유도함으로써 시스템 성질을 행렬 함수 이론과 연결한다.
• SISO 수동 시스템에 대해 두 가지 구체적 실현(독립 진동자 및 체인 모드)을 도입하며, 이는 모두 손실이 없는 양의 실수 행렬 함수 Σ와 연결되어 있다.
• Schur-Feshbach 공식과 직교 다항식 이론을 적용하여 역행렬 표현을 유도하고 유니터리 변환을 검증한다.
• 수동 시스템이 손실이 없는 유계 실수 행렬 함수이면, 해당 행렬 함수 Σ가 손실이 없는 양의 실수 행렬 함수임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 양자 선형 시스템에서 제어 가능성과 관측 가능성은 어떤 조건에서 등가가 되는가?
• RQ2 양자 선형 시스템에서 비제어 가능 및 비관측 가능 부분공간은 어떻게 체계적으로 식별할 수 있는가?
• RQ3 양자 선형 수동 시스템에서 최소 실현과 허위츠 안정성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 SISO 및 MIMO 양자 선형 수동 시스템의 최소 실현의 기수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 행렬 함수 Σ는 손실이 없는 유계 실수 전이 함수를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반적인 양자 선형 시스템에서 제어 가능성과 관측 가능성은 등가이며, 간단한 행렬 질량 조건을 통해 확인할 수 있다.
• 비제어 가능 및 비관측 가능 부분공간을 명시적으로 식별하는 캐논리컬 실현이 구성되었으며, 이는 칼만 분해를 양자 영역로 일반화한 것이다.
• 양자 선형 수동 시스템의 경우, 최소성은 허위츠 안정성과 등가이며, 최소 실현을 위한 명확한 기준을 제공한다.
• SISO 시스템의 최소 실현 기수는 제3.7조에 의해 주어지고, MIMO 시스템의 경우 제3.8조에 의해 주어지며, 모두 시스템의 스펙트럼 성질에서 유도된다.
• 양자 선형 수동 시스템이 손실이 없는 유계 실수 행렬 함수이면, 해당 행렬 함수 Σ가 손실이 없는 양의 실수 행렬 함수임을 증명하였으며, 이는 기본적인 특성화를 수립한다.
• SISO 시스템에 대해 독립 진동자 및 체인 모드라는 두 가지 서로 다른 실현이 도출되었으며, 최소성 조건 하에서 독립 진동자 실현이 유일함이 증명되었다.