[논문 리뷰] On reducibility of Quantum Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^d$ with quasiperiodic in time potential

Éric Paturel, Benoît Grébert|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 24.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 15인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^d$에서 조화 진동자 포텐셜과 시간에 대해 거의주기적인 소규모 외란이 가미된 선형 슈뢰딩거 방정식의 환원 가능성을 확립한다. 무한차원 카우프만-아르노르드-모르의 이론(KAM 이론)을 사용하여 대부분의 주파수 벡터 $ω$에 대해 시스템이 자율 해밀토니안 시스템으로 환원됨을 증명하며, 이는 모든 해가 거의주기적이며 모든 소볼레프 노름에서 유계임을 의미한다.

ABSTRACT

We prove that a linear d-dimensional Schr{ö}dinger equation on $\mathbb{R}^d$ with harmonic potential $|x|^2$ and small t-quasiperiodic potential $i\partial\_t u -- Δu + |x|^2 u + εV (tω, x)u = 0, x \in \mathbb{R}^d$ reduces to an autonomous system for most values of the frequency vector $ω\in \mathbb{R}^n$. As a consequence any solution of such a linear PDE is almost periodic in time and remains bounded in all Sobolev norms.

연구 동기 및 목표

• 선형 슈뢰딩거 방정식이 $ℝ^d$에서 조화 진동자와 시간에 대해 거의주기적인 소규모 포텐셜을 가질 때의 환원 가능성을 확립한다.
• 유한차원 KAM 환원 결과를 양자 조화 진동자에 의해 지배되는 무한차원 시스템으로 확장한다.
• 대부분의 주파수 벡터 $ω$에 대해 시스템이 자율 시스템으로 환원됨을 보이며, 이는 해의 장기적 안정성을 보장한다.
• 모든 해가 모든 소볼레프 노름에서 유계이자 시간에 대해 거의주기적임을 증명한다.

제안 방법

• 시간에 대해 거의주기적인 포텐셜 $V(\omega t, x)$를 가진 $L^2(\mathbb{R}^d)$에서의 선형 비자율 시스템으로 문제를 공식화하며, 이 포텐셜은 시간에 대해 해석적이고 공간에서 $\mathcal{H}^s$에 속하며 $s > d/2$이다.
• 해를 헤르미트 기저 $\{\Phi_{j,l}\}$에서 표현하며, 연산자 $T = -\Delta + |x|^2$의 고유값 $w_a = j$는 차원이 $d_j \leq j^{d-1}$인 고유공간 $[a]$에서 정의된다.
• 비공진 조건이 만족되는 주파수 $ω$에 기반하여 무한차원 KAM 이론을 적용하여 시간에 의존하는 시스템을 자율 시스템으로 코어지하는 거의주기적 변환을 구성한다.
• 블록 대각화를 통해 동차 방정식을 해결하고, 스펙트럼 갭 추정과 $w_a$에 대한 감쇠 성질을 이용하여 선형화된 연산자의 역행렬을 추정한다.
• 가중치가 부여된 $\ell^2_s$ 노름을 사용하여 헤르미트 계수에 대해 변환의 성장률을 제어하는 파arameter-의존 정규형을 포함한 반복 KAM 단계를 구현한다.
• 측도 이론적 접근을 통해 $ℝ^n$에서 환원 가능성이 성립하는 $ω$의 집합이 渐近적으로 전체 측도를 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 대해 거의주기적인 포텐셜을 가진 $ℝ^d$에서의 선형 슈뢰딩거 방정식이 대부분의 주파수 벡터에 대해 자율 시스템으로 환원될 수 있는가?
• RQ2 무한차원에서 시스템의 환원 가능성을 보장하기 위해 주파수 벡터 $ω$와 포텐셜 $V$에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 환원 가능성은 이러한 시스템에서 모든 해가 모든 소볼레프 노름에서 유계임을 의미하는가?
• RQ4 KAM 방법은 어떻게 유한차원 시스템에서 양자 조화 진동자의 무한차원 설정으로 확장되는가?

주요 결과

• 대부분의 주파수 벡터 $ω$에 대해, 거의주기적 포텐셜을 가진 슈뢰딩거 방정식은 거의주기적 변환을 통해 자율 시스템으로 환원된다.
• 이 시스템의 모든 해는 시간에 대해 거의주기적이며, 모든 소볼레프 노름 $H^s$에서 유계이다. ($s \geq 0$에 대해 모두 성립함)
• 포텐셜 $V \in \mathcal{H}^s$이면서 $s > d/2$ 이고 시간 변수 $φ \in \mathbb{T}^n$에 대해 실해석적일 경우에 환원 가능성이 성립한다.
• 동차 방정식에서 선형화된 연산자의 역행렬은 $C / (1 + |w_a - w_b|)$로 유계이며, 이는 KAM 반복의 수렴을 보장한다.
• 환원 가능성이 성립하는 비공진 $ω$ 벡터의 집합 크기는 $ℝ^n$에서 渐近적으로 전체 측도를 가진다.
• 이 방법은 변환과 잔여항의 노름에 대해 명시적인 추정을 제공하며, $\delta > 0$에 대해 $w_a^{-\delta}$로 제어되는 감쇠 성질을 가진다.