[논문 리뷰] On Reducible but Indecomposable Representations of the Virasoro Algebra

Falk Rohsiepe|ArXiv.org|1996. 11. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 35인용 수 66

한 줄 요약

이 논문은 $L_0$ 가 최저 무게 공간에서 비자명한 조르당 블록으로 작용하는 조르당 최저 무게 모듈러스에서, 비가역적이나 분해 불가능한 바이아스로라 대역의 표현을 조사한다. '스테이지드 모듈러스'를 일반화로 도입하고, 임베딩 조건에 따라 모듈러스 공간이 일차원 또는 공집합이 되는 것을 분류하며, 조르당 버마 모듈러스의 최대 유지 부분모듈러스를 규명한다. 주요 기여는 중심 전하 $c = -2$ 에서 최소 조르당 표현의 부분모듈러스와 특성의 완전한 분류이며, 이는 $ω(2,3^3)$ 대수에 응용된다.

ABSTRACT

Motivated by the necessity to include so-called logarithmic operators in conformal field theories (Gurarie, 1993) at values of the central charge belonging to the logarithmic series c_{1,p}=1-6(p-1)^2/p, reducible but indecomposable representations of the Virasoro algebra are investigated, where L_0 possesses a nontrivial Jordan decomposition. After studying `Jordan lowest weight modules', where L_0 acts as a Jordan block on the lowest weight space (we focus on the rank two case), we turn to the more general case of extensions of a lowest weight module by another one, where again L_0 cannot be diagonalized. The moduli space of such `staggered' modules is determined. Using the structure of the moduli space, very restrictive conditions on submodules of `Jordan Verma modules' (the generalization of the usual Verma modules) are derived. Furthermore, for any given lowest weight of a Jordan Verma module its `maximal preserving submodule' (the maximal submodule, such that the quotient module still is a Jordan lowest weight module) is determined. Finally, the representations of the W-algebra W(2,3^3) at central charge c=-2 are investigated yielding a rational logarithmic model.

연구 동기 및 목표

• 비가역적이나 분해 불가능한 바이아스로라 대역 표현의 구조를 이해하는 것, 특히 $L_0$ 가 대각화되지 않을 경우에 중점을 두며.
• 최저 무게 공간에서 $L_0$ 가 조르당 블록으로 작용하는 '조르당 버마 모듈러스'로 버마 모듈러스를 일반화하는 것.
• 최저 무게 모듈러스의 확장으로서 $L_0$ 가 비대각화 가능한 '스테이지드 모듈러스'의 모듈러스 공간을 분류하는 것.
• 조르당 버마 모듈러스의 최대 유지 부분모듈러스를 규명하여 몫이 여전히 조르당 최저 무게 모듈러스가 되도록 보장하는 것.
• $c = -2$ 에서 $ω(2,3^3)$ 대수에 이 프레임워크를 적용하여, 이가 유리적 로그형 양자장 이론을 이룬다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 최저 무게 공간에서 $L_0$ 가 랭크 2 조르당 블록으로 작용하는 두 벡터로 생성되는 모듈러스를 '조르당 최저 무게 모듈러스'로 정의한다.
• 최저 무게 모듈러스의 확장으로서 $L_0$ 가 비대각화 가능한 '스테이지드 모듈러스'를 도입하고, 버마 모듈러스의 구조를 일반화한다.
• 스테이지드 모듈러스의 모듈러스 공간 $\mathcal{V}_{h,h'}$ 을 구성하고, $V(h',c) \to V(h,c)$ 가 임베딩이 존재하면 일차원 벡터 공간임을 증명하며, 그렇지 않으면 공집합임을 보인다.
• 모듈러스 공간의 구조를 이용해 조르당 버마 모듈러스의 부분모듈러스에 대한 강력한 제약 조건을 도출한다.
• 이 형식을 $c = -2$ 에서의 $ω(2,3^3)$ 대수에 적용하여, 모든 표현이 유한한 수의 기본 표현들로부터 부분모듈러스, 몫, 직합을 통해 구성된다는 것을 보인다.
• 최대 유지 부분모듈러스 구성법을 사용하여 최소 조르당 최저 무게 표현의 특성을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최저 무게 공간에서 $L_0$ 가 비자명한 조르당 블록으로 작용하는 조르당 버마 모듈러스 내부의 부분모듈러스의 구조는 어떠한가?
• RQ2 스테이지드 모듈러스가 존재하는 조건은 무엇이며, 그 모듈러스 공간의 차원은 얼마인가?
• RQ3 어떻게 하면 조르당 버마 모듈러스의 최대 유지 부분모듈러스를 분류할 수 있으며, 몫이 여전히 조르당 최저 무게 모듈러스가 되도록 보장할 수 있는가?
• RQ4 $c = -2$ 에서 $ω(2,3^3)$ 의 표현 이론이 일반화된 의미에서 유리적임을 보일 수 있는가?
• RQ5 비대각화 가능한 $L_0$ 는 로그형 양자장 이론에서 어떤 역할을 하는가, 특히 융합 규칙과 모듈러 불변성의 맥락에서?

주요 결과

• 스테이지드 모듈러스의 모듈러스 공간 $\mathcal{V}_{h,h'}$ 는 $V(h',c) \to V(h,c)$ 가 존재하면 일차원 벡터 공간이며, 그렇지 않으면 공집합이다.
• 조르당 버마 모듈러스의 최대 유지 부분모듈러스는 몫이 여전히 조르당 최저 무게 모듈러스가 되는 가장 큰 부분모듈러스로 특징지어진다.
• 주어진 조르당 버마 모듈러스의 최저 무게에 대해 최대 유지 부분모듈러스는 명시적으로 결정되며, 이는 최소 조르당 표현의 특성 계산을 가능하게 한다.
• $c = -2$ 에서 $ω(2,3^3)$ 대수는 유한한 수의 기본 표현들로부터 부분모듈러스, 몫, 직합을 통해 모든 다른 표현이 구성되는 유리적 로그형 CFT를 허용한다.
• 최대 유지 부분모듈러스를 사용하여 최소 조르당 최저 무게 표현의 특성이 유도되며, 이 클래스의 모듈러스에 대한 완전한 특성 공식을 제공한다.
• 더 높은 랭크에서는 최대 유지 부분모듈러스의 구조가 더 복잡해진다: 예를 들어 $c = -2$, $h = \frac{3}{8}$ 에서 랭크 3 조르당 버마 모듈러스의 최대 유지 부분모듈러스는 세 개의 서로 다른 최저 무게를 가진 스테이지드 모듈러스이며, 표준적인 조르당 또는 스테이지드 유형이 아니다.