[논문 리뷰] On refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for Hasse-Weil-Artin L-series

David Burns, Daniel Macias Castillo|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 78인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 수체 위의 아벨 다양체에 대한 하세-베일-아르틴 L함수에 대해, 델리뉴-그로스 추측을 통해 아르키메데스 성분을, 마즈르-테이트 이중확장 높이 쌍형을 통해 p진 합동을 연결함으로써 정교화된 버치와 스위너튼-다이 추측을 제안한다. 이는 등변 타마가와 수 추측과 깊은 연관성을 가지며, 특수한 경우에 이론적이고 수치적인 증거나를 제공한다. 또한 브래드샤우와 스텐의 헤게너 점에 관한 추측에서 발생하는 모순을 수정한다.

ABSTRACT

We consider refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for the Hasse-Weil-Artin L-series of abelian varieties over general number fields. We shall, in particular, formulate several new such conjectures and establish their precise relation to previous conjectures, including to the relevant special case of the equivariant Tamagawa number conjecture. We also derive a wide range of concrete interpretations and explicit consequences of these conjectures that, in general, involve a thoroughgoing mixture of difficult archimedean considerations related to refinements of the conjecture of Deligne and Gross and delicate p-adic congruence relations that involve the bi-extension height pairing of Mazur and Tate and are related to key aspects of non-commutative Iwasawa theory. In important special cases we provide strong evidence, both theoretical and numerical, in support of the conjectures. We also point out an inconsistency in a conjecture of Bradshaw and Stein regarding Zhang's Theorem on Heegner points and suggest a possible correction.

연구 동기 및 목표

• 일반 수체 위의 아벨 다양체에 대한 하세-베일-아르틴 L함수에 대해 새로운 정교화된 버치와 스위너튼-다이 추측을 제안한다.
• 이 정교화된 추측과 등변 타마가와 수 추측 사이의 관계를 명확히 한다.
• 마즈르와 테이트의 이중확장 높이 쌍형과 관련된 아르키메데스 주기와 p진 합동을 포함한 명시적 결과를 도출한다.
• 중요한 특수한 경우에서 추측에 대한 이론적이고 수치적인 증거를 제공한다.
• 장의 정리에 기반하여 브래드샤우와 스텐의 헤게너 점에 관한 추측에서 발생하는 모순을 규명하고 수정한다.

제안 방법

• 저자들은 아르키메데스 성분을 포함한 산술적 불변량을 코herent하게 기록하는 글로벌 갈루아 코hom로지적 대상을 구성하기 위해, 네키아르-셀머 복합체와 완전한 셀머 구조를 사용한다.
• 그룹환 코hom로지의 유도 범주 구성법을 통해 보크슈타인 쌍형을 도입하여, 갈루아 모듈러 구조와 코호몰로지 군을 연결한다.
• 특수 L함수 값과 아르키메데스 성분을 연결하기 위해 주기와 갈루아-가우스 합을 활용한다.
• 포이투-테이트 대칭과 명시적 복합체를 적용하여 갈루아 코호몰로지에서 국소와 글로벌 대칭을 연결한다.
• 로그함수 해석과 명시적 조정 행렬을 통해 고전적 및 p진 조정자를 통합한다.
• 특히 마즈르와 테이트의 이중확장 쌍형을 통해 p진 L값과 높이 쌍형 간의 합동 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하세-베일-아르틴 L함수의 맥락에서 아르키메데스 성분과 p진 성분을 모두 반영한 버치와 스위너튼-다이 추측을 어떻게 정교화할 수 있는가?
• RQ2 정교화된 BSD 추측과 등변 타마가와 수 추측 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 마즈르와 테이트의 이중확장 높이 쌍형과 p진 합동이 특수 L값의 맥락에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 정교화된 추측은 비가환 이와사와 이론의 아벨 다양체에 대해 어떤 방식으로 반영되는가?
• RQ5 장의 정리에 기반하여 헤게너 점에 관한 브래드샤우와 스텐의 추측에서 수정이 필요한 부분은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 델리뉴-그로스 형 추측을 통해 아르키메데스 주기와 마즈르-테이트 이중확장 높이 쌍형을 포함한 p진 합동을 통합하는 새로운 정교화된 BSD 추측을 제안한다.
• 이 추측이 고전적 BSD 추측을 함의하고, 관련 맥락에서 등변 타마가와 수 추측과 호환됨을 증명한다.
• 조정자, 타마가와 수, 갈루아 모듈러 구조를 포함한 L함수의 주요 항에 대한 명시적 예측을 도출한다.
• 보크슈타인 쌍형이 p^m 모듈로 환원하에 대해 호환됨을 증명하여, p진 및 정수 코호몰로지 불변량을 연결한다.
• 브래드샤우와 스텐의 추측에 대한 수정을 제안하며, 그들이 제시한 합동 관계가 장의 정리와 일치하지 않음을 보여준다.
• 특히 모듈라 아벨 다양체와 같은 중요한 경우에서, 이론적 유도와 수치적 증거 양쪽 모두로 추측이 지지됨을 보여준다.