[논문 리뷰] On Regularised Quantum Dimensions of the Singlet Vertex Operator Algebra and False Theta Functions

Thomas Creutzig, Antun Milas외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 48인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 복소 매개변수 𝜖를 사용하여 비-C2-코페르티브 싱귤러 버티텍스 연산자 대수에서 양자 차원을 정규화하는 절차를 제안하며, 이를 통해 거짓 θ 함수 및 양자 모듈라 형식과 연결한다. 𝜖에 의한 특성의 변형과 그 모듈라 변환 성질 분석을 통해, Re(𝜖) > 0일 때 정규화된 양자 차원이 링 동형사상이 되며, Re(𝜖) < 0일 때는 유리성 VOA의 융합 링을 복원함을 보여주며, 벡터값 양자 모듈라 형식이 모듈라 텐서 카테고리의 구조 상수를 표현한다.

ABSTRACT

We study a family of non-C2-cofinite vertex operator algebras, called the singlet vertex operator algebras, and connect several important concepts in the theory of vertex operator algebras, quantum modular forms, and modular tensor categories. More precisely, starting from explicit formulae for characters of modules over the singlet vertex operator algebra, which can be expressed in terms of false theta functions and their derivatives, we first deform these characters by using a complex parameter {\epsilon}. We then apply modular trans- formation properties of regularised partial theta functions to study asymptotic behaviour of regularised characters of irreducible modules and compute their regularised quantum dimensions. We also give a purely geometric description of the regularisation parameter as a uniformisation parameter of the fusion variety coming from atypical blocks. It turns out that the quantum dimensions behave very differently depending on the sign of the real part of {\epsilon}. The map from the space of characters equipped with the Verlinde product to the space of regularised quantum dimensions turns out to be a genuine ring isomorphism for positive real part of {\epsilon} while for sufficiently negative real part of {\epsilon} its surjective image gives the fusion ring of a rational vertex operator algebra. The category of modules of this rational vertex operator algebra should be viewed as obtained through the process of a semi-simplification procedure widely used in the theory of quantum groups. Interestingly, the modular tensor category structure constants of this vertex operator algebra, can be also detected from vector valued quantum modular forms formed by distinguished atypical characters.

연구 동기 및 목표

• 비-C2-코페르티브 버티텍스 연산자 대수, 특히 싱귤러 VOA에서 특성의 점점 가까운 행동을 이해하기 위해.
• 복소 변형 매개변수 𝜖를 사용하여 싱귤러 VOA의 기약 모듈에 대한 정규화된 양자 차원을 정의하고 계산하기 위해.
• 비표준 블록에서 유래하는 융합 다양체의 균일화 매개변수로서 정규화 매개변수의 기하학적 의미를 제공하기 위해.
• Re(𝜖)의 부호에 따라 버린드 프로덕트 구조가 정규화된 양자 차원으로 어떻게 매핑되는지 이해하기 위해.
• 유리성 VOA의 모듈라 텐서 카테고리의 구조 상수를 비표준 특성으로 구성된 벡터값 양자 모듈라 형식과 연결하기 위해.

제안 방법

• 싱귤러 VOA의 특성을 복소 매개변수 𝜖로 변형하여 정규화된 특성 정의하기.
• 정규화된 부분 θ 함수의 모듈라 변환 성질을 적용하여, 𝑞 → 0일 때 이러한 정규화된 특성의 점점 가까운 행동을 연구하기.
• 에이히러 적분 구성과 비해석적 에이히러 적분을 사용하여 해석적 계속을 상반평면과 하반평면에서 허용된 해석적 특성과 연결하기.
• 비표준 특성에서 벡터값 양자 모듈라 형식을 구성하고, SL(2, ℤ)에 대한 변환 법칙 유도하기.
• 정수 커널을 통해 (p+, p−)-최소 모델의 S-행렬을 이러한 양자 모듈라 형식의 변환과 연결하기.
• Re(𝜖) > 0일 때 버린드 프로덕트 공간에서 정규화된 양자 차원으로의 사상이 링 동형사상이며, Re(𝜖) < 0일 때는 융합 링으로의 전사 사상임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 매개변수 𝜖에 의한 변형 하에서 싱귤러 VOA의 기약 모듈에 대한 정규화된 양자 차원의 점점 가까운 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 정규화 매개변수 𝜖의 기하학적 의미는 비표준 블록의 융합 다양체 측면에서 무엇인가?
• RQ3 버린드 프로덕트에서 정규화된 양자 차원으로의 사상은 링의 구조를 유지하는가? 만약 그렇다면 𝜖에 대한 어떤 조건에서 그러한가?
• RQ4 비표준 특성으로 구성된 벡터값 양자 모듈라 형식으로부터 유리성 VOA의 모듈라 텐서 카테고리의 구조 상수를 복원할 수 있는가?
• RQ5 거짓 θ 함수와 그 도함수의 모듈라 변환 성질은 최소 모델의 S-행렬과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• Re(𝜖) > 0일 때, 버린드 프로덕트 공간에서 정규화된 양자 차원으로의 사상은 진정한 링 동형사상이다.
• 충분히 음수인 Re(𝜖)일 경우, 버린드 프로덕트 사상의 이미지는 유리성 버티텍스 연산자 대수의 융합 링으로 전사적이다.
• 정규화 매개변수 𝜖는 비표준 블록에서 유래하는 융합 다양체의 균일화 매개변수로서 기하학적으로 해당된다.
• (p+, p−)-최소 모델의 S-행렬은 비표준 특성으로 구성된 벡터값 양자 모듈라 형식의 변환 법칙에 암묵적으로 포함되어 있다.
• 벡터값 양자 모듈라 형식 G(w)의 성분은 S-행렬과 보정 항 g(w)를 포함한 변환 법칙을 만족하며, G(w)는 H ∪ H에서 해석적이며 ℝ에서 매끄럽다.
• F(τ)와 G(τ)의 양자 모듈라 형식은 유리점에서 그 에이히러 적분 대응체와 일치하는 반경 방향 극한을 가짐을 보여주며, 이는 그들의 양자 모듈라 성격을 확인한다.