[논문 리뷰] On regularity of complex Monge-Ampere equation

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p > n^2$ 인 $L^p$ 유계성 조건을 만족하는 복소 라플라스 연산자 $\triangle u$ 를 갖는 유계 도메인 내에서 복소 멩게-암페르 방정식의 해에 대해 내부 $C^2$ 추정을 확립하고, $\mathbb{C}^n$에서 $\det(u_{i\bar j}) = 1$을 만족하는 일반화된 및 복소 해석적 해를 생성하기 위해 풀레로프 유형의 예를 제시하며, 정규성에 대한 $L^p$ 적분 임계값의 날카로움을 입증한다.

ABSTRACT

We shall consider the regularity problem of solutions for complex Monge-Ampere equations. First we prove interior $C^2$ estimates of solutions in a bounded domain for complex Monge-Ampere equation with assumption of certain $L^p$ bound for Laplacian u, and of Lipschitz condition on right hand side. Then we shall construct a family of Pogorelov-type examples for complex Monge-Ampere equation. These examples give generalized entire solutions (as well as viscosity solutions) of complex Monge-Ampere equation $\det(u_{i\bar j})=1.

연구 동기 및 목표

• 복소 멩게-암페르 방정식의 해에 대해 $p > n^2$ 인 조건에서 복소 라플라스 연산자 $\triangle u$ 에 대한 $L^p$ 유계성 조건을 만족할 때 내부 $C^2$ 추정을 확립한다.
• 반례를 통해 $p > n^2$ 인 $L^p$ 임계값이 $C^2$ 정규성에 대해 날카로움임을 입증한다.
• 풀레로프 유형의 예를 사용하여 $\mathbb{C}^n$에서 $\det(u_{i\bar j}) = 1$을 만족하는 일반화된 및 복소 해석적 해를 구성한다.
• $p \leq n^2$ 일 때조차도 오른쪽 항이 매끄럽더라도 $C^2$ 추정이 실패함을 명확히 한다.
• $\mathbb{C}^n$ 에서 생성된 해가 $W^{2,p}_{\text{loc}}$ 및 $C^{\alpha}_{\text{loc}}$ 에 속하며 $\alpha = 2/n$ 이지만, 그 이상의 정규성은 갖지 못함을 보여준다.

제안 방법

• Ivochkina와 Schulz의 영감을 받은 적분적 접근을 통해 $\|\triangle u\|_{L^p(\Omega)} < \infty$ 인 조건에서 내부 $C^2$ 추정을 증명한다. 여기서 $p > n^2$ 이다.
• $\mathbb{C}^n$ 에서 형태 $u^\epsilon = (1 + \sum |z_i|^2)(|w|^2 + \epsilon)^{1/n}$ 의 풀레로프 유형의 예를 가진 가족을 구성한다. 이는 $\epsilon \to 0$ 일 때 극한 함수로 수렴한다.
• 극한 함수 $u^0 = (1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n}$ 가 일반화된 (Bedford-Taylor) 및 복소 해석적 의미에서 $\det(u_{i\bar j}) = 1$ 을 만족함을 보인다.
• 콤���트 집합에서 $C^{\alpha}$ 및 $W^{2,p}$ 노름 수렴을 이용하여, $F \to 1$ 이 $L^\infty$ 에서 성립할 경우 극한이 일반화된 해임을 확인한다.
• 특이 집합 $|w| = 0$ 에서의 점들에서 하부 및 상부 임계선을 시험하여 복소 해석적 해 성질을 검증한다. 이는 어떤 $C^2$ 함수도 $u - v$ 에서 국소 최대값을 가질 수 없음을 보여준다.
• 생성된 해가 $\alpha > 2/n$ 인 경우에 대해 $C^{2,\alpha}$ 가 아니라는 것을 입증함으로써 정규성 임계값의 날카로움을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{C}^n$ 에서 복소 멩게-암페르 방정식의 내부 $C^2$ 추정을 보장하기 위한 $\triangle u$ 에 대한 최적의 $L^p$ 적분 조건은 무엇인가요?
• RQ2 복소 멩게-암페르 방정식에 대해 풀레로프 유형의 예를 구성하여, 일정한 $L^p$ 임계값 이하에서 $C^2$ 정규성이 실패함을 입증할 수 있는가요?
• RQ3 풀레로프 유형의 극한을 통해 구성된 일반화된 해는 복소 해석적 해인가요?
• RQ4 $\mathbb{C}^n$ 에서 일반화된 해 $u^0 = (1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n}$ 의 정확한 호일더 정규성은 무엇인가요?
• RQ5 $p \leq n^2$ 일 때 $C^2$ 추정이 실패하는 현상은 오른쪽 항이 매끄러울 경우에도 계속 유지되는가요?

주요 결과

• $\|\triangle u\|_{L^p(\Omega)} < \infty$ 이고 $p > n^2$ 이면, 유계 도메인 $\Omega$ 내에서 $\log\det(u_{i\bar j}) = F$ 의 해에 대해 내부 $C^2$ 추정이 성립한다. 이 추정의 상한은 $\Lambda = \|F\|_{C^1}$, $\Omega$, $\Omega' \subset\subset \Omega$, $p$, $n$ 에 의존한다.
• $L^p$ 임계값 $p > n^2$ 는 날카로움을 보인다. $p \leq n^2$ 일 경우 풀레로프 유형의 예를 통해 $C^2$ 추정이 실패함을 입증한다.
• 일반화된 해 $v(z) = n^{2/n}(1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n}$ 는 $\mathbb{C}^n$ 에서 Bedford-Taylor 의미에서 $\det(u_{i\bar j}) = 1$ 을 만족한다.
• 특이 집합 $|z_n| = 0$ 에서의 하부 및 상부 임계선을 시험함으로써 $v$ 가 복소 해석적 해임을 확인한다. 이는 어떤 $C^2$ 함수도 $u - v$ 에서 국소 최대값을 가질 수 없음을 의미한다.
• $v$ 는 모든 $p < n$ 에 대해 $W^{2,p}_{\text{loc}}(\mathbb{C}^n)$ 에 속하고, $\alpha = 2/n$ 에 대해 $C^{\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{C}^n)$ 에 속하지만, $\alpha > 2/n$ 인 경우는 아니며, 이는 정확한 호일더 정규성임을 확인한다.
• 이 구성은 $\mathbb{C}^{n+1}$ 로 일반화될 수 있으며, $\det(u_{i\bar j}) = 1/(n+1)^2$ 을 만족하는 해를 생성하며, 유사한 정규성 및 해법 성질을 갖는다.