[논문 리뷰] On Relative Ranks of the Semigroup of Orientation-preserving Transformations on Infinite Chains

Ilinka Dimitrova, Jörg Koppitz|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 13.

semigroups and automata theory참고 문헌 20인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 무한 체인 X 위의 방향 유지 변환의 반군 OP(X)가 순서 유지 변환의 부분반군 O(X)에 대해 상대적인 순서를 결정한다. 순서 동형사상과 정교하게 구성된 변환을 사용하여, 저자들은 OP(X)가 O(X)와 추가로 하나의 방향 유지 변환 γ∗로 생성됨을 증명함으로써, rank(OP(X) : O(X)) = 1임을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we determine the relative rank of the semigroup OP(X) of all orientation-preserving transformations on infinite chains modulo the semigroup O(X) of all order-preserving transformations.

연구 동기 및 목표

• 무한 체인 X 위의 방향 유지 변환의 반군 OP(X)가 순서 유지 변환의 부분반군 O(X)에 대해 상대적인 순서를 결정하는 것.
• 특히 전역 순서가 비가산일 경우에 해당하는 무한 전환 반군의 생성 집합에 대한 이해를 확장하는 것.
• 유한 체인에서의 방향 유지 변환 결과를 순서 동형사상과 이상 구조를 사용하여 무한 설정으로 일반화하는 것.
• O(X)로부터 OP(X)를 생성하기 위해 추가로 하나의 변환만으로도 충분함을 입증함으로써, OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩임을 확립하는 것.

제안 방법

• 순서 동형사상 ν, µ1, µ2를 사용하여, [a, c)라는 유일한 이상을 가지는 OP(X) \ O(X)에 속하는 표준 대표 원소 γ∗를 정의한다.
• 순서 동형사상과 복합을 이용하여 보조 변환 δ, θ1, θ2, θ2,1/θ2,2를 정의하여 이미지와 정의역을 조작한다.
• 변환 β∗ = η1βη2를 사용하여, OP(X) \ O(X)에 속하는 임의의 β를 OP∗(X)로 매핑함으로써 표준 형태를 얻는다. 여기서 OP∗(X)는 [a,b]에 이미지를 가진 방향 유지 변환의 집합이다.
• θ1과 θ2를 통한 공역 변환을 적용하여 β∗로부터 β를 복원함을 보이며, β = θ1β∗θ2 ∈ ⟨O(X), γ∗⟩임을 보인다.
• O(X)가 순서 유지 부분을 생성하고, γ∗가 나머지 구조를 생성함을 입증함으로써 OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩임을 확립한다.
• 이중성 원리를 활용하여, X가 최대 원소는 있지만 최소 원소는 없는 경우를 포함한 모든 경우를 다루며, 무한 체인 전반에 대해 결과가 일반화됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 체인 X 위의 방향 유지 변환의 반군 OP(X)가 순서 유지 변환의 부분반군 O(X)에 대해 상대적인 순서는 무엇인가?
• RQ2 상대적 순서는 유한한 값으로 줄일 수 있으며, 만약 그렇다면 전역 순서가 비가산임에도 불구하고 정확히 1인가?
• RQ3 OP(X) \ O(X)에 속하는 변환들은 오직 O(X)와 하나의 추가 생성자만을 포함한 복합으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ4 무한 체인에서의 순서 동형사상과 이상 구조는 이러한 최소 생성 집합의 구성에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• OP(X)가 O(X)에 대해 상대적인 순서는 정확히 1이다. 즉, rank(OP(X) : O(X)) = 1이다.
• OP(X) \ O(X)에 속하는 단 하나의 방향 유지 변환 γ∗가 존재하여, OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩임을 만족한다.
• 임의의 β ∈ OP(X) \ O(X)에 대해, β = θ1β∗θ2로 재구성할 수 있으며, 여기서 β∗ ∈ OP∗(X)이고 θ1, θ2 ∈ O(X), β∗ ∈ ⟨O(X), γ∗⟩이다.
• 이 구성은 이미지 im β의 볼록 폐쇄인 I에 대한 순서 동형사상 τ1 : (a,b) → (a,∞)와 τ2 : I → Y′를 사용하여, 이미지를 표준 구간 [a,b]로 매핑함에 기반한다.
• 이중성 원리를 통해, X가 최소 원소는 있지만 최대 원소는 없는 경우와, 최대 원소는 있지만 최소 원소는 없는 경우를 모두 포함하여 증명이 성립함을 보인다.
• 결과는 잘 서열화되거나, 가산적이거나, 비가산적인지에 관계없이, 총적으로 순서된 모든 무한 체인에 대해 성립한다.