[논문 리뷰] On Repeated-Root Constacyclic Codes of Length $2^amp^r$ over Finite Fields

Aicha Batoul, Kenza Guenda외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 02.

Coding theory and cryptography참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $a \geq 1$, $m$가 홀수이고 $(m,p)=1$일 때, $ℝ_{p^s}$ 위의 길이 $2^a m p^r$ 반복근 상수순환 코드의 생성 다항식을 특성화한다. 자기쌍대 부순환 코드의 존재 조건을 설정하고, $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ 조건 하에서 이러한 길이의 부순환 코드가 순환 코드와 단항적 등가임을 증명하며, 이는 복합 길이의 반복근 상수순환 코드에 대한 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the structure of repeated root constacyclic codes of length $2^amp^r$ over $\mathbb{F}_{p^s}$ with $a\geq1$ and $(m,p)=1$. We characterize the codes in terms of their generator polynomials. This provides simple conditions on the existence of self-dual negacyclic codes. Further, we gave cases where the constacyclic codes are equivalent to cyclic codes.

연구 동기 및 목표

• 길이 $2^t p^r$ 및 $l p^r$의 상수순환 코드에 대한 이전 결과를 $a \geq 1$ 이고 $m$가 $p$와 서로소인 홀수인 $ℝ_{p^s}$ 위의 길이 $2^a m p^r$ 코드로 일반화한다.
• 길이 $m$의 코드의 구조를 이용하여 $λ$-상수순환 코드의 길이 $mp^r$의 생성 다항식을 특성화함으로써 체계적인 구성 방법을 가능하게 한다.
• 반복근 상수순환 코드가 단항적 등가로 순환 코드와 동일한 조건을 결정짓는다. 특히 부순환 코드에 대해 중점을 둔다.
• 홀수 $p$에 대해 $ℝ_{p^s}$ 위의 길이 $2^a m p^r$의 자기쌍대 부순환 코드의 존재에 필요한 및 충분한 조건을 설정한다.
• 특히 부순환 구조의 맥락에서, 더 넓은 범위의 반복근 상수순환 코드에 대해 자기쌍대 코드 이론을 확장한다.

제안 방법

• $\mathbb{F}_{q}[x]/\langle x^n - \lambda \rangle$와 다항식 몫환 사이의 링 동형사를 사용하여 상수순환 코드를 이상으로 표현한다.
• $q$-순환 코셋과 $ℝ_q$ 위의 최소 다항식을 적용하여 $x^n - \lambda$를 인수분해하고 생성 다항식을 유도한다.
• $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ 조건 하에서 $ℝ_q^*$에 원시 $2^{a+1}$-단위근이 존재함을 이용하여 부순환 코드 링과 순환 코드 링 사이의 링 동형사를 구성한다.
• $x^m + 1$과 $x^m - 1$의 인수분해를 $ℝ_{p^s}$ 위에서 기약 인수로 나누고, 자기수반 및 상호수반 쌍을 그룹화하여 이중성 분석을 수행한다.
• 부순환 코드에 대한 이중성 조건 $A(x) = B^*(x)$를 적용하여 기약 인수의 구조를 통해 자기쌍대 조건을 도출한다.
• 레마 5.6을 사용하여 $τ_m(p^s)$의 기수성과 자기수반 기약 다항식의 존재성 간의 관계를 연결함으로써, 자기쌍대 코드의 존재 조건을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 $p$와 $a \geq 1$ 조건 하에서 $ℝ_{p^s}$ 위의 길이 $2^a m p^r$의 자기쌍대 부순환 코드가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\mathbb{F}_{p^s}$ 위의 길이 $2^a m p^r$의 부순환 코드가 언제 순환 코드와 단항적 등가가 되는가?
• RQ3 $\lambda$-상수순환 코드의 길이 $2^a m p^r$의 생성 다항식은 길이 $m$의 코드의 생성자로부터 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 $q$-순환 코셋과 자기수반 기약 인수는 반복근 상수순환 코드의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\text{ord}_m(p^s)$와 이 확장된 길이 범주에서 자기쌍대 부순환 코드의 존재성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 길이 $2^a m p^r$의 부순환 코드가 $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ 조건을 만족할 경우, $ℝ_q^*$에 원시 $2^{a+1}$-단위근이 존재하므로 순환 코드와 단항적 등가이다.
• 홀수 $p$에 대해 $ℝ_{p^s}$ 위의 길이 $2^a m p^r$의 자기쌍대 부순환 코드가 존재하는 것은 $τ_m(p^s)$가 홀수일 때에만 가능하며, 이는 $x^m - 1$의 인수분해에서 자기수반 기약 인수가 존재하지 않음을 보장한다.
• 길이 $2^a m p^r$의 부순환 코드의 생성 다항식은 $\prod_{k=1}^{2^a} \left( \prod_{i=0}^{l} f_i^{j_i}(\alpha^{-2k+1}x) \right)$ 형태를 가지며, 여기서 $f_i(x)$는 $x^m - 1$의 모닉 기약 인수이고 $\alpha$는 원시 $2^{a+1}$-단위근이다.
• 자기쌍대 부순환 코드의 존재는 $x^m + 1$의 인수분해에서 자기수반 기약 인수가 존재하지 않을 때에 해당하며, 이는 $τ_m(p^s)$의 기수성에 의해 결정된다.
• 예시: $ℝ_5$ 위에서 길이 70의 자기쌍대 부순환 코드는 존재하지 않지만, $ℝ_9$ 위에서 길이 126의 자기쌍대 부순환 코드는 존재한다. 이는 $τ_m(p^s)$에 의존함을 보여준다.