[논문 리뷰] On representing claims for coherent risk measures

Saul Jacka, Abdelkarem Berkaoui|ArXiv.org|2007. 08. 03.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비례 거래비용이 존재하는 시장에서 일관된 위험 측도에 대한 시간적 일관성과 m-안정성의 동치성을 확립하며, 타당성 조건 하에 모든 일관된 위험 측도가 자산 포트폴리오로 표현 가능하고, 그 반대도 성립함을 증명한다. 또한, 거래비용이 존재하는 비정상적 시장에서의 위험 표현 및 헤지에 대한 통합적 프레임워크를 제공한다. 결과적으로 Delbaen의 m-안정성 개념을 일반화하며, 마찰이 존재하는 시장에서의 위험 측도 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We consider the problem of representing claims for coherent risk measures. For this purpose we introduce the concept of (weak and strong) time-consistency with respect to a portfolio of assets, generalizing the one defined by Delbaen. In a similar way we extend the notion of m-stability, by introducing weak and strong versions. We then prove that the two concepts of m-stability and time-consistency are still equivalent, thus giving necessary and sufficient conditions for a coherent risk measure to be represented by a market with proportional transaction costs. We go on to deduce that, under a separability assumption, any coherent risk measure is strongly time-consistent with respect to a suitably chosen countable portfolio, and show the converse: that any market with proportional transaction costs is equivalent to a market priced by a coherent risk measure, essentially establishing the equivalence of the two concepts.

연구 동기 및 목표

• 비례 거래비용이 존재하는 시장에서 자산 포트폴리오에 대해 Delbaen의 m-안정성과 시간적 일관성 개념을 일반화한다.
• 일관된 위험 측도가 거래비용이 존재하는 시장에 의해 표현될 수 있는 필요 및 충분 조건을 설정한다.
• 분리성 조건 하에, 모든 일관된 위험 측도가 적절히 선택된 가чёт한 수의 자산 포트폴리오에 대해 강한 시간적 일관성을 가짐을 보인다.
• 모든 거래비용이 존재하는 비아웃리어 시장이 일관된 위험 측도에 대응함을 보이며, 두 개념 간의 이원성(쌍대성)을 확립한다.

제안 방법

• 자산 포트폴리오에 대한 약한 및 강한 시간적 일관성과 m-안정성의 정의를 도입하여 Delbaen의 원래 정의를 일반화한다.
• 다양한 단위자산 v에 대한 v-단위 위험 측도를 정의함으로써 다국적 통화 또는 다중상품 위험 표현이 가능해진다.
• Schachermayer와 Kabanov의 일관된 가격 과정의 이중뿔을 사용하여 다중자산 시장에서 실현 가능한 계약을 특성화한다.
• 다단계 모델에서 폐쇄성과 영전략 논증을 적용하여, 비아웃리어 조건 하에서 계약 집합이 폐쇄됨을 증명한다.
• 조건부 위험 측도와 본질적 하한 표현을 사용하여 시간에 따라 일관된 위험 평가를 정의한다.
• 문헌 [11]의 정리 4.14 및 4.16을 활용하여 실현 가능한 계약의 과립과 일관된 가격 과정 집합 간의 이원성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비례 거래비용이 존재하는 시장에서 자산 포트폴리오에 대해 일관된 위험 측도가 시간적으로 일관성이 있는가에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 다중자산 및 마찰이 존재하는 시장에서 일반화된 m-안정성 개념은 시간적 일관성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 모든 일관된 위험 측도가 거래비용이 존재하는 시장에 의해 표현될 수 있으며, 그 반대도 성립하는가?
• RQ4 분리성은 고정된 가чёт한 수의 자산 포트폴리오를 통해 모든 수용 가능한 계약을 실현할 수 있도록 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다중 통화 또는 다중 상품 단위자산을 사용하여 일관된 위험 측도 하에서 계약을 표현하고 헤지할 수 있는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 논문은 약한 시간적 일관성과 m-안정성이 Delbaen의 원래 결과와 동일한 조건 하에서 동치임을 증명하며, 이를 자산 포트폴리오로 일반화한다.
• 분리성 조건 하에, 모든 일관된 위험 측도가 적절히 선택된 가чёт한 수의 자산 포트폴리오에 대해 강한 시간적 일관성을 가짐을 보인다.
• 논문은 거래비용이 존재하는 모든 시장이 일관된 위험 측도로 가격이 매겨지는 시장과 동치임을 증명하며, 두 프레임워크 간의 이원성을 입증한다.
• 거래비용이 존재하는 다단계 시장에서 실현 가능한 계약의 집합은 ρ(Y·X) ≤ 0 를 만족하는 계약 X의 집합으로 특성화된다. 여기서 ρ는 일관된 위험 측도이고 Y는 단위자산의 계약이다.
• 일관된 가격 과정의 이중뿔이 정확히 위험 측도가 기대값의 최대값으로 표현되는 확률 측도 집합과 대응됨을 보였다.
• 계약 집합 𝒞ₜ^∞ 는 σ(ℒ∞,ℒ¹)-폐쇄되어 있어, 시간에 따라 수용 가능한 포지션의 표현이 안정적이고 일관됨을 보장한다.