[논문 리뷰] On Riemanns Nachlass for Analytic Number Theory: A translation of Siegel's Uber

Eric Barkan, David P. Sklar|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 11.

History and Theory of Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 칼 루트비히 지겔이 1932년에 발표한 리만의 미발표 노트에 대한 번역과 분석을 제시하며, 두 가지 주요 결과를 드러낸다: 임계선 상에서 리만 제타 함수의 점근 전개를 위한 리만-지겔 공식, 그리고 제타 함수의 새로운 적분 표현이다. 주요 기여는 리만의 깊이 있는 해석 기법, 특히 특수한 타입의 테타 적분을 통한 복원과 체계화로, 이는 효율적인 계산과 새로운 영역 밀도 추정치를 가능하게 하였다.

ABSTRACT

In 1859 Riemann (1826-1866) published his only paper on number theory. In this eight-page paper he obtained a formula for the number of primes less than or equal to a real number x, and revealed the deep connection between the distribution of primes and the zeros of an analytic function now called the Riemann Zeta Function. In the early 1930's two related unpublished results from 1859 were found in Riemanns very rough notes by the great twentieth century mathematician and scholar, Carl Ludwig Siegel (1896-1981). In his 1932 paper "Uber Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie"("On Riemann's Nachlass for Analytic Number Theory") Siegel presents these unpublished results and gives derivations he found in Riemann's notes. The first is an asymptotic development, now called the Riemann-Siegel formula, for efficiently computing values of the Riemann Zeta Function. The second is a new integral representation of the zeta function. These results had not been rediscovered seventy years after Riemann. Thus, in 1932 the importance of Siegel's paper was not only its contribution to the history of mathematics, but also its contribution to current research. Hoping to get some insight into how Siegel spotted and deciphered these gems among Riemann's fragmentary and disordered personnel papers, we decided to look at the 1932 paper. We also wanted to learn how much of the paper is original to Riemann and whether Siegel needed to fill any gaps. Although Siegel's paper is cited whenever the Riemann-Siegel formula is discussed, we were unable the locate an English translation. Despite our limited knowledge of the German language, we have produced a translation of the paper as it appears in volume one of Siegel's collected works.

연구 동기 및 목표

• 리만의 제타 함수에 대한 미발표 노트, 특히 해석수론과 관련된 내용을 복원하고 해석하기.
• 리만-지겔 공식과 제타 함수의 적분 표현이 리만의 조각들에서 어떻게 유래되었는지 기원과 유도 과정을 명확히 하기.
• 리만의 미발표 작업이 하디와 리틀우드의 후속 결과보다 앞서 나간 고도로 발전된 해석 기법, 특히 점근 전개와 적분 변환을 포함하고 있음을 입증하기.
• 지겔의 1932년 논문을 엄밀하게 번역하여 현대 연구자들이 접근할 수 있도록 하며, 리만의 원래 통찰의 수학적 정확성을 유지하기.

제안 방법

• 함수 $\varPhi(\tau, u)$를 포함하는 적분 변환에 최대 기울기 방법을 적용하여 리만-지겔 공식을 유도하기.
• 카우치의 정리를 사용하여 $\varPhi(u)$의 함수방정식을 도출함으로써 $\zeta(s)$의 점근 전개의 기초를 마련하기.
• $\varPhi(\tau, u)$를 이용한 $\zeta(s)$의 적분 표현을 응용하여 임계선 $\sigma = \frac{1}{2}$ 상의 점근적 행동을 유도하기.
• 인수 원리와 점근 전개로부터 유도된 경계를 사용하여 임계대역 내의 $\zeta(s)$의 영의 수를 추정하기.
• 함수방정식과 경로 적분 기법을 활용하여 제타 함수를 테타 유사 적분 $\varPhi(\tau, u)$와 연결하기.
• 임계선 상의 영의 수 $N_0(T)$에 대한 하한을 $N_2(T)$, 즉 이동된 대역 내의 영의 수의 성장 분석을 통해 설정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만은 어떻게 임계선 상에서 제타 함수의 점근 전개를 도출하였으며, 어떤 해석 기법을 사용하였는가?
• RQ2 제타 함수와 그 영들과의 관계에서 $\varPhi(\tau, u)$ 적분의 수학적 의의는 무엇인가?
• RQ3 리만의 미발표 노트가 하디와 리틀우드의 후속 작업보다 앞서거나 이를 예견하는 결과를 얼마나 포함하고 있는가?
• RQ4 리만-지겔 공식은 리만의 노트에서 엄밀하게 유도될 수 있는가? 만약 그렇다면, 지겔이 메꾸어야 했던 격차가 있었는가?
• RQ5 리만의 부분적인 유도 과정으로부터 비트리비얼 영의 분포에 관해 어떤 통찰을 이끌어낼 수 있는가?

주요 결과

• 리만-지겔 공식은 임계선 상에서 $\zeta(s)$의 효율적인 점근 전개를 제공하며, 주요 항은 하디와 리틀우드가 1920년에 재발견하였다.
• $\varPhi(\tau, u)$는 유도의 핵심이 되는 적분으로, 함수방정식을 만족하여 점근 급수의 고차항을 체계적으로 생성할 수 있다.
• 임계선 상의 비트리비얼 영의 수 $N_0(T)$에 대한 하한이 $N_0(T) > \frac{3}{8\pi}e^{-3/2}T + \frac{3}{2}e^{-3/2}\sum_{\alpha_\zeta > 1/2}(\alpha_\zeta - \frac{1}{2}) + o(T)$ 로 설정되며, 이는 $1/38$ 이상의 양의 밀도를 의미한다.
• 이 방법은 새로운 영역 밀도 결과를 도출한다: $2 \leq t \leq T$ 에서 $0 \leq \sigma - \frac{1}{2} \leq \frac{\psi(t)}{\log t}$ 영역에 적어도 $\frac{3}{4\pi}e^{-3/2}T\psi(T)(1+o(1))$ 개의 영이 존재하며, $\psi(t)$ 가 $\log \log t$ 보다 느리게 증가하더라도 성립한다.
• $\alpha_\zeta > 1/2$ 인 영들에 대한 합 $\sum (\alpha_\zeta - \frac{1}{2})$ 는 유계이며, 이 합이 $T$ 보다 더 빠르게 증가하면 리만 가설은 '너무 거짓'일 수 없다.
• 이 논문은 리만의 미발표 작업이 점근 해석과 경로 적분을 포함한 고도로 발전된 해석 기법을 담고 있었음을 확인하며, 이는 지겔의 1932년 재발견 이전까지는 충분히 평가되지 않았다.