[논문 리뷰] On Rigid Origami II: Quadrilateral Creased Papers

Zeyuan He, Simon D. Guest|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 17.

Advanced Materials and Mechanics참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미우라-오리보다 낮은 대칭성을 가진 비일반적이고 강체 접을 수 있는 사각형 접힌 종이를, 코코츠카스 사각형에서 유도된 섹터 각에 대한 기호적 제약 조건을 사용하여 분류한다. 각기 다른 기하학적 및 삼각법적 조건을 가진 10종류의 강체 접을 수 있는 3×3 메쉬를 식별함으로써, 대칭적이거나 개발 가능한 형태를 초월한 복잡한 단일 자유도 강체 접을 수 있는 기구의 분석적 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Miura-ori is well-known for its capability of flatly folding a sheet of paper through a tessellated crease pattern made of repeating parallelograms. Many potential applications have been based on the Miura-ori and its primary variations. Here we are considering how to generalize the Miura-ori: what is the collection of rigid-foldable creased papers with a similar quadrilateral crease pattern as the Miura-ori? This paper reports some progress. We find some new variations of Miura-ori with less symmetry than the known rigid-foldable quadrilateral meshes. They are not necessarily developable or flat-foldable, and still only have single degree of freedom in their rigid folding motion. This article presents a classification of the new variations we discovered and explains the methods in detail.

연구 동기 및 목표

• 높은 대칭성을 가지지 않은 미우라-오리의 일반화된 강체 접을 수 있는 사각형 접힌 종이를 식별하고 분류하는 것.
• 이전 연구가 개발 가능하거나 평평하게 접을 수 있는 경우에 국한되어 있었던 한계를 극복하기 위해 일반적인 강체 접을 수 있는 구성에 대해 고려하는 것.
• 유효한 3×3 코코츠카스 사각형 단위를 조합하여 큰 강체 접을 수 있는 메쉬를 체계적으로 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 일반적이거나 대칭적인 경우를 초월한 강체 접을 수 있음을 보장하는 조건—섹터 각에 대한 기호적 조건—을 제공하는 것.
• 통제된 단일 자유도 운동을 가지는 변형 가능한 조각별 강체 기구의 새로운 공 ing 설계를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 이전 연구에서 도출된 강체 접을 수 있는 3×3 사각형 메쉬(코코츠카스 사각형)의 분류를 활용하며, 섹터 각에 대한 기호적 제약 조건에 집중한다.
• 이웃한 3×3 단위 간의 호환성 조건을 적용하여 더 큰 메쉬의 전반적인 강체 접을 수 있음을 보장한다.
• 각도, 접기 각도, 복소수 매개변수를 포함한 기하학적 및 삼각법적 항등식을 기반으로 10종류의 강체 접을 수 있는 코코츠카스 사각형을 도출한다.
• 유형 5.3, 6.6, 6.9에서 접기 운동 제약 조건을 표현하기 위해 복소수 변수 표현법(예: 타원 함수, 자비 타원 함수)을 사용한다.
• 접기 행동과 단위 간 기하학적 호환성에 대한 정보를 암호화하기 위해 M, p, q, μ, ν, ξ, ζ, t 등의 매개변수를 도입한다.
• 큰 메쉬가 강체 접을 수 있음이 오직 모든 3×3 부분 메쉬가 강체 접을 수 있을 때에만 성립한다는 조건을 사용하여 모듈러 설계를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높은 대칭성을 가지지 않은 미우라-오리의 일반화된 강체 접을 수 있는 사각형 접힌 종이의 완전한 클래스는 무엇인가?
• RQ2 3×3 코코츠카스 사각형이 강체 접을 수 있도록 만족해야 할 기하학적 및 삼각법적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ3 유효한 3×3 강체 접을 수 있는 단위를 어떻게 조합하여 더 큰 강체 접을 수 있는 메쉬를 만들 수 있는가?
• RQ4 개발 가능하거나 평평하게 접을 수 없는 강체 접을 수 있는 사각형 접힌 종이를 분석적으로 분류할 수 있는가?
• RQ5 복소수 매개변수와 타원 함수는 비일반적인 강체 접을 수 있는 단위의 접기 운동을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 원추곡선, 타원, 이소그램, 수직대각선 유형을 포함한 10종류의 강체 접을 수 있는 코코츠카스 사각형을 식별하였으며, 각각 고유한 기하학적 및 삼각법적 제약 조건을 가진다.
• 유형 6.6(도리형-타원형)의 경우, 접기 운동은 p1, p2, k에 의존하는 주기 격자 매개변수를 가진 자비 타원 함수를 포함하는 복잡한 관계로 제어된다.
• 유형 6.8 및 6.9에서는 t1 ± t3 ± t4 = 0 또는 π(κ2의 부호에 따라 다름) 조건이 세 개의 원추곡선 또는 타원 단위 간의 호환성을 보장하며, t 값은 타원 적분에서 유도된다.
• 적어도 하나의 접기 각도가 일정한 경우인 자명한 강체 접을 수 있는 사례(유형 7.1–7.4)를 식별하였으며, 이는 열악한 해석 가능성을 가진 비퇴화된 구성이다.
• 모든 3×3 부분 메쉬가 유도된 조건을 만족하도록 보장함으로써, 큰 강체 접을 수 있는 메쉬의 분석적 설계가 가능해졌으며, 이는 전반적인 강체 접을 수 있음을 보장한다.
• 분류에는 개발 가능하거나 평평하게 접을 수 없는 경우도 포함되어 있어, 이전 연구에서 특수한 부분집합에 국한된 범위를 초월한다.