[논문 리뷰] On Robust Stability and Performance with a Fixed-Order Controller Design for Uncertain Systems

Jun Ma, Haiyue Zhu외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 08.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 불확실 시스템을 위한 고정 순서 제어기 설계 방법을 제안하며, 모든 극한 모델을 점검하는 데 드는 계산 부담을 피하면서도 제한된 주파수 범위 내에서 강건한 안정성과 성능을 보장한다. 안정성에 대해 양의 실수성(positive realness)을, 성능에 대해 유계 실수성(bounded realness)을 활용함으로써 조건을 선형 행렬 부등식(LMIs)으로 공식화하여, 단일 해를 효율적으로 계산할 수 있도록 하였다. 이는 전체 도메인 및 명시적 단순화 모델 방법보다 계산 효율성과 강건성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

Typically, it is desirable to design a control system that is not only robustly stable in the presence of parametric uncertainties but also guarantees an adequate level of system performance. However, most of the existing methods need to take all extreme models over an uncertain domain into consideration, which then results in costly computation. Also, since these approaches attempt (rather unrealistically) to guarantee the system performance over a full frequency range, a conservative design is always admitted. Here, taking a specific viewpoint of robust stability and performance under a stated restricted frequency range (which is applicable in rather many real-world situations), this paper provides an essential basis for the design of a fixed-order controller for a system with bounded parametric uncertainties. A Hurwitz polynomial is used in the design and the robust stability is characterized by the notion of positive realness, such that the required robust stability condition is then suitably successfully constructed. Also, the robust performance criteria in terms of sensitivity shaping under different frequency ranges are constructed based on an approach of bounded realness analysis. Necessary and sufficient conditions are provided for both the robust stability and robust performance criteria. Furthermore, these conditions are expressed in the framework of linear matrix inequality (LMI) constraints, and thus can be efficiently solved. Comparative simulations are provided to illustrate the effectiveness and efficiency of the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 불확실 시스템에서 모든 극한 모델을 평가해야 하는 전통적 강건 제어 방법의 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 실제 응용에서 중요한 주파수 범위에 국한된 성능 요구사항을 고려함으로써 전체 주파수 대역에 대한 강건 제어의 비현실적인 보수성(conservatism)을 줄이기 위해.
• 모든 불확실 시스템 변형을 철저히 검증하지 않더라도 강건성을 유지하는 고정 순서 제어기 설계를 개발하기 위해.
• 선형 행렬 부등식(LMI) 프레임워크 내에서 양의 실수성과 유계 실수성을 활용하여 강건 안정성 및 성능 조건을 공식화하기 위해.

제안 방법

• 제어기 구조의 기본으로 허리츠 다항식(Hurwitz polynomial)을 사용하여 내재된 안정성 특성을 확보한다.
• 매개변수 불확실성 하에서 강건 안정성을 특성화하기 위해 양의 실수성 개념을 적용한다.
• 지정된 주파수 범위 내에서 강건 성능 기준을 정의하기 위해 유계 실수성 분석을 활용한다.
• 안정성 및 성능 조건을 효율적인 수치적 해법을 위한 선형 행렬 부등식(LMI) 제약 조건으로 변환한다.
• 모든 불확실 도메인에 대해 단 한 번의 LMI 문제를 해결함으로써, 2^n개의 극한 시스템을 모두 점검할 필요가 없어진다.
• 4개의 매개변수를 가진 불확실 식물 시뮬레이션을 통한 비교 분석을 통해 방법을 검증하였으며, 전체 도메인 및 명시적 단순화 모델 접근 방식과 대비시켰다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 극한 모델을 점검하지 않더라도 고정 순서 제어기에서 강건 안정성과 성능을 보장할 수 있는가?
• RQ2 실제 응용에서 성능이 제한된 주파수 대역에서만 요구되는 경우, 전체 주파수 대역 강건 제어의 비현실적인 보수성을 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 매개변수 불확실성 하에서 동시에 강건 안정성과 성능을 보장할 수 있는 통합된 LMI 기반 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ4 기존의 모든 정점 시스템을 점검해야 하는 전통적 방법에 비해 제안된 방법의 계산적 우월성은 무엇인가?
• RQ5 매개변수 변동이 발생할 경우 제안된 제어기의 성능은 명시적 단순화 및 전체 도메인 설계와 비교하여 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 5개의 LMI만으로도 강건 안정성과 성능을 확보하여, 모든 16개의 극한 시스템을 점검해야 하는 경우(Case II)에 비해 계산 비용을 크게 감소시켰다.
• 제안된 방법의 계산 시간(Case I)은 1.0883초로, 전체 도메인 방법(Case II)이 요구하는 2.6000초보다 절반 이하로 줄었다.
• 제안된 방법은 RMSE 0.0325 및 MaxAE 0.0488을 기록하여, 전체 도메인 방법(RMSE: 0.0794, MaxAE: 0.1205)과 명시적 단순화 모델 방법(RMSE: 0.1652, MaxAE: 0.2498)을 모두 능가하는 최고의 추적 성능을 보였다.
• 명시적 단순화 모델 설계(Case III)는 가장 빠르지만, 변동이 발생할 경우 성능이 가장 열 劣하여 불확실성을 고려한 제어기 설계의 필요성을 확인시켰다.
• 시간 도메인 추적 시뮬레이션을 통해 매개변수 불확실성에도 불구하고 높은 강건성을 유지함을 입증하였다.
• LMI 기반 공식화 덕분에 전체 불확실 도메인에 대해 단일 해를 얻을 수 있어, 불확실 매개변수 증가에 따라 계산량이 지수적으로 증가하는 문제를 피할 수 있었다.