[논문 리뷰] On scaling limits of multitype Galton-Watson trees with possibly infinite variance

Gabriel Berzunza|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 16.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분산이 유한하지 않은 가능성이 있는 비가역 다형성 갈튼-워슨 나무의 높이 과정의 척도 한계를 확립하며, 연속 시간 높이 과정이 엄밀히 안정적인 스펙트르가 양성인 레비 과정으로 수렴함을 보여준다. 이 결과는 미어몬트의 유한 분산 결과를 안정 분포의 무한 분산 영역으로 확장하며, 각 형질에 따라 다를 수 있는 안정성 지수를 허용한다.

ABSTRACT

In this work, we study asymptotics of multitype Galton-Watson trees with finitely many types. We consider critical and irreducible offspring distributions such that they belong to the domain of attraction of a stable law, where the stability indices may differ. We show that after a proper rescaling, their corresponding height process converges to the continuous-time height process associated with a strictly stable spectrally positive Lévy process. This gives an analogue of a result obtained by Miermont in the case of multitype Galton-Watson trees with finite covariance matrices of the offspring distribution. Our approach relies on a remarkable decomposition for multitype trees into monotype trees introduced by Miermont.

연구 동기 및 목표

• 분산이 유한하지 않은 경우로의 다형성 갈튼-워슨 나무의 척도 한계 결과를 확장하여 무한 분산 영역으로 확장한다.
• 각 형질에 대해 다를 수 있는 안정성 지수를 갖는 안정 분포의 영역에 속하는 경우, 높이 과정의 수렴을 확립한다.
• 유한 분산 경우에서의 무조건적 수렴이 반사 브라운 운동으로 일반화된 결과를 무한 분산 설정으로 확장한다.
• 무거운 尾 꼬리 분포를 갖는 다형성 나무의 다형성 구조를 다루기 위해 다형성 나무를 단형성 나무로 분해하는 방법을 개발한다.
• 정규화된 연속 시간 높이 과정과 관련된 엄밀히 안정적인 스펙트르가 양성인 레비 과정의 극한으로, 스케일링된 높이 과정이 분포 수렴함을 증명한다.

제안 방법

• 다형성 갈튼-워슨 나무를 단형성 나무로 분해하는 기법을 활용하며, 미어몬트(2007)의 기법을 확장한다.
• 각 형질에 대해 안정성 지수 α ∈ (1,2]인 안정 분포의 영역 조건을 적용하며, 형질 간 다를 수 있는 지수를 허용한다.
• 정규화 상수 B_n / n을 사용한 스케일링 체계를 적용하며, 여기서 B_n은 안정 극한 하에서 높이 과정의 스케일링과 일치하도록 선택된다.
• 형질별로 다를 수 있는 지수를 갖는 안정 분포의 영역에 속하며, 비가역적이며 임계적인 형질 분포를 조건으로 한다.
• 조건부 수렴 논증을 활용하며, 주어진 형질의 개체 수에 조건을 두어 극한에서 지배적인 성분을 분리한다.
• 스코로호드 공간 D([0,1], ℝ)에서의 함수적 수렴을 이용하여, 스케일링된 높이 과정이 연속 시간 높이 과정의 정규화된 외삽으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분산이 무한한 임계적이고 비가역적인 다형성 갈튼-워슨 나무의 높이 과정은 적절한 스케일링 하에 연속 극한으로 수렴하는가?
• RQ2 무한 분산을 갖는 단형성 나무에 대한 수렴 결과를 각 형질에 대해 다를 수 있는 안정성 지수를 갖는 다형성 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 형질 간 안정성 지수가 다를 경우, 형질 분포가 안정 분포의 영역에 속할 때 높이 함수의 극한 과정은 무엇인가?
• RQ4 다형성 나무를 단형성 나무로 분해하는 방법은 어떤 방식으로 중량 있는 꼬리 분포를 갖는 다형성 나무의 분석을 촉진하는가?
• RQ5 공분산 행렬이 무한한 경우에도 스케일링된 높이 과정의 수렴이 안정 높이 과정으로 여전히 유효한가?

주요 결과

• 형질 분포가 안정 분포의 영역에 속하는 임계적이고 비가역적인 다형성 갈튼-워슨 나무의 스케일링된 높이 과정은 엄밀히 안정적인 스펙트르가 양성인 레비 과정과 관련된 연속 시간 높이 과정의 정규화된 외삽으로 분포 수렴한다.
• 안정성 지수가 형질 간으로 다를 경우에도 수렴이 성립하며, 이는 미어몬트의 유한 분산 결과를 무한 분산 영역으로 일반화한다.
• 극한 과정은 안정성 지수 α ∈ (1,2]를 갖는 엄밀히 안정적인 스펙트르가 양성인 레비 과정으로 특징지어지며, 이 지수는 형질별로 다를 수 있다.
• 수렴은 주어진 형질의 개체 수에 조건을 두는 조건부 측도 하에서 성립하며, 이로 인해 극한이 비퇴화함을 보장한다.
• 증명은 지배적이지 않은 나무 성분의 기여가 극한에서 무시 가능하다는 것을 보이며, 이들의 크기는 고도로 확률적으로 o(n)이 된다.
• 높이 과정 근사의 오차 항은 [0,1] 전역에서 확률적으로 o(n/B_n)이 되며, 이는 스케일링된 과정의 수렴을 보장한다.