[논문 리뷰] On self-dual and LCD double circulant and double negacirculant codes over $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$

Minjia Shi, Hongwei Zhu외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 08.

Coding theory and cryptography참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $u^2 = u$를 만족하는 링 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 위에서 자기쌍대 및 LCD 이중 순환 및 이중 반순환 코드를 연구하여 정확한 수량 공식을 도출하고, 이중성 보존 그레이 사상에 의해 고정된 비율과 상한이 양수인 상한을 갖는 임의의 길이의 코드가 존재함을 증명한다. 주요 기여는 최적 또는 근접 최적의 매개변수를 갖는 유한체 위에서 양호한 자기쌍대 및 LCD 코드의 가족을 구성하는 것이다.

ABSTRACT

Double circulant codes of length $2n$ over the semilocal ring $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q,\, u^2=u,$ are studied when $q$ is an odd prime power, and $-1$ is a square in $\mathbb{F}_q.$ Double negacirculant codes of length $2n$ are studied over $R$ when $n$ is even and $q$ is an odd prime power. Exact enumeration of self-dual and LCD such codes for given length $2n$ is given. Employing a duality-preserving Gray map, self-dual and LCD codes of length $4n$ over $\mathbb{F}_q$ are constructed. Using random coding and the Artin conjecture, the relative distance of these codes is bounded below. The parameters of examples of the modest length are computed. Several such codes are optimal.

연구 동기 및 목표

• 유한체에서의 이중 순환 및 이중 반순환 코드 이론을 $u^2 = u$를 만족하는 링 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$로 확장하여 더 풍부한 코드 구성이 가능하도록 한다.
• 주어진 길이 $2n$에 대해 $q$와 $n$에 대한 조건 하에 이러한 가족 내 자기쌍대 및 LCD 코드의 정확한 수를 결정한다.
• 링 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$에서의 코드로부터 이중성 보존 그레이 사상 $\phi$를 이용해 $\mathbb{F}_q$ 위에서 길이 $4n$인 자기쌍대 및 LCD 코드를 구성한다.
• 무작위 코드화 및 아르틴 추측을 이용해 그레이 이미지 코드의 상대 해밍 거리에 대한 점 渐진 하한을 확립한다.
• 명시적인 예제를 계산하여, 일부 구성된 코드가 $\mathbb{F}_5$에서의 매개변수에 대해 알려진 최고의 최소 거리를 달성함을 보여준다.

제안 방법

• 링 $R = \mathbb{为中国} + u\mathbb{F}_q$를 체의 곱으로 분해하기 위해 중국인의 나머지 정리(CRT)를 활용하여 코드 분석을 구성요소로 나눈다.
• 필요 조건이 충족될 경우 $-1$의 제곱근이 존재함을 보장하는 조건(즉, $q$가 2의 거듭제곱이거나 $q \equiv 1 \pmod{4}$이거나, 또는 $p \equiv 3 \pmod{4}$인 $p^{2b}$ 형태일 경우)을 이용해 이중 순환 코드를 정의한다.
• 이중 반순환 코드는 $n$ 이 짝수이고 $q$가 홀수 소수 거듭제곱일 때, 딕슨 다항식을 이용한 $x^n + 1$의 인수분해를 통해 $R$ 위에서 정의한다.
• 이중성 보존 그레이 사상 $\phi$를 적용한다: $R$ 위의 자기쌍대 코드는 $\mathbb{F}_q$ 위의 자기쌍대 코드로, LCD 코드는 $\mathbb{F}_q$ 위의 LCD 코드로 사상된다.
• 무작위 코드화 기법과 아르틴 추측(GRH에 조건부)을 사용하여 그레이 이미지 코드의 상대 거리에 하한을 설정한다.
• 생성 행렬의 구조와 CRT 분해를 활용하여 자기쌍대 또는 LCD 조건을 만족하는 유효한 코드의 수를 세는 데 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $q$와 $n$이 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 위에서 자기쌍대 및 LCD 이중 순환 코드가 존재하는가?
• RQ2 길이 $2n$인 $R$ 위에서 자기쌍대 및 LCD 이중 순환 및 이중 반순환 코드의 정확한 수는 무엇인가?
• RQ3 링 $R$에서 $\mathbb{F}_q^2$로의 그레이 사상은 $\mathbb{F}_q$ 위에서 양호한 점 渐진 매개변수를 갖는 자기쌍대 및 LCD 코드를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 이 코드의 그레이 이미지의 상대 해밍 거리에 대한 점 渐진 하한은 $n \to \infty$일 때 어떻게 되는가?
• RQ5 구성된 코드들이 $\mathbb{F}_q$에서의 길이 및 차원에 대해 알려진 최고의 최소 거리를 달성하거나 근접하는가?

주요 결과

• 홀수 $q$이고 $\mathbb{F}_q$에서 $-1$이 제곱인 경우, 길이 $2n$인 $R$ 위의 자기쌍대 이중 순환 코드의 수는 $n$ 이 짝수일 때 정확히 $q^{n/2}$이다.
• 동일한 조건 하에서, 길이 $2n$인 $R$ 위의 LCD 이중 순환 코드의 수는 정확히 $q^{3n/2}$이다.
• 이중 반순환 코드의 경우, $n$ 이 2의 거듭제곱일 때, 자기쌍대 코드의 수는 $q^{n/2}$이고, LCD 코드의 수는 $q^{3n/2}$이다.
• 분해 I 하에서 $R$ 위의 자기쌍대 이중 반순환 코드의 그레이 이미지의 상대 거리 $\delta$는 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$를 만족하며, 분해 II 하에서는 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{16}$이다.
• LCD 이중 반순환 코드의 그레이 이미지는 분해 I 하에서 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$, 분해 II 하에서는 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{16}$를 만족하여, 이러한 가족이 양호한 코드임을 증명한다.
• $\mathbb{F}_5 + u\mathbb{F}_5$ 위에서의 명시적 예제는 표 1과 2에 $*$로 표시된 바와 같이, 여러 구성된 코드가 그 매개변수에 대해 알려진 최고의 최소 거리를 달성함을 보여준다.