[논문 리뷰] On (self-) reciprocal Appell polynomials: Symmetry and Faulhaber-type polynomials

Bernd C. Kellner|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 31.

Advanced Mathematical Identities인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 반사 대칭(R)을 만족하는 Appell 다항식과 Faulhaber 유형 다항식 사이의 구조적 연결을 제시한다. u = x(x−1)의 이차 대입을 통해 유도되며, 이러한 Appell 다항식은 An(x) = u′Fn(u)로 인수분해됨을 증명한다. 여기서 Fn(u)는 일반화된 역 Appell 다항식의 계수를 유도한 Faulhaber 유형 다항식이다. 핵심 기여는 이러한 계수들을 역 다항식의 도함수로 표현한 닫힌 형식의 표현식을 제시함으로써, 고전적인 베르누이 및 오일러 다항식에 대한 결과들을 통합한다는 데 있다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to study generalized (self-) reciprocal Appell polynomials, which play a certain role in connection with Faulhaber-type polynomials. More precisely, we show for any Appell sequence when satisfying a reflection relation that the Appell polynomials can be described by Faulhaber-type polynomials, which arise from a quadratic variable substitution. Furthermore, the coefficients of the latter polynomials are given by values of derivatives of generalized reciprocal Appell polynomials. Subsequently, we show some applications to the Bernoulli and Euler polynomials. In the context of power sums the results transfer to the classical Faulhaber polynomials.

연구 동기 및 목표

• 반사 관계 An(1−x) = (−1)nAn(x)를 만족하는 Appell 다항식의 대수적 구조를 조사하는 것.
• u = x(x−1)일 때 이러한 Appell 다항식을 An(x) = u′Fn(u)로 인수분해하는 것, 여기서 Fn(u)는 Faulhaber 유형 다항식이다.
• Fn(u)의 계수에 대한 명시적 공식을 일반화된 역 Appell 다항식의 도함수로 유도하는 것.
• 거듭제곱 합의 맥락에서 고전적인 베르누이 및 오일러 다항식에 대한 결과들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 표준 역 다항식 개념을 일반화하여 An,k(x) = xkAn(x−1)로 정의된 일반화된 역 Appell 다항식을 도입한다.
• 우먼 계산법과 미분 연산자를 적용하여 An,k(x)의 계수에 대한 재귀 관계를 도출한다.
• 이차 대입 u = x(x−1)를 사용하여 An(x)를 새로운 다항식 Fn(u)의 도함수로 표현함으로써 Faulhaber 유형 다항식과의 연결을 가능하게 한다.
• An,2k(x)의 도함수를 x=1에서 평가하여 Fn(u)의 계수 공식을 유도하며, 이는 일반화된 역 다항식과 연결된다.
• Fn(u)의 계수 fn,k에 대한 재귀 관계를 수립하여 대칭성과 k > dn일 때의 영성 조건을 보여준다.
• 이 틀을 고전적인 Appell 수열, 예를 들어 베르누이 및 오일러 다항식에 적용하여 기존의 항등식과 거듭제곱 합 공식을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 관계 An(1−x) = (−1)nAn(x)를 만족하는 Appell 다항식이 u = x(x−1)의 이차 대입을 통해 어떻게 인수분해될 수 있는가?
• RQ2 유도된 Faulhaber 유형 다항식 Fn(u)의 계수와 일반화된 역 Appell 다항식 An,k(x) 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 An,k(x)의 대칭성 특성(예: 반-팔린드롬 또는 팔린드롬)은 Fn(u)의 계수 fn,k에 어떤 제약 조건을 가하는가?
• RQ4 An(x) = Bn(x)일 때, 이 틀의 특수한 경우로 고전적인 Faulhaber 다항식이 거듭제곱 합에 대해 유도될 수 있는가?
• RQ5 유도된 계수 재귀식으로부터 얻어지는 신규 항등식은 Genocchi 수와 오일러 다항식에 대해 무엇인가?

주요 결과

• 홀수 n ≥1에 대해 Appell 다항식 An(x)는 u = x(x−1)일 때 An(x) = u′Fn(u)로 인수분해되며, 여기서 Fn(u)는 Faulhaber 유형 다항식이다.
• Fn(u)의 계수 fn,k는 fn,k = (−1)k/k! ⋅ A(k)n,2k(1)로 주어지며, 이는 일반화된 역 Appell 다항식의 도함수와 직접적으로 연결된다.
• 0 ≤k ≤dn일 때 fn,0 = −αn 및 fn,dn = (1/2)α0이며, k > dn일 때 fn,k = 0임을 보여주며, 이는 정확한 지지 구조를 나타낸다.
• 계수는 재귀 관계 bfn,k+2 = −(4k+6)bfn,k+1 + (n)2bfn−2,k를 만족하며, 이는 주어진 대입 하에서 An,2k(x)의 재귀 관계와 일치한다.
• 베르누이 다항식의 경우, 주요 정리의 직접적인 결과로서 거듭제곱 합 공식 Sn(m) = ∫₀^m Bn(x)dx = Fn(y) (여기서 y = m(m−1)/2)가 복원된다.
• 이 틀은 Genocchi 수에 대한 새로운 항등식을 도출한다. 즉, ∑ν=0^k (2k−ν choose k)(n choose ν)Gn+1−ν/(n+1−ν) = 0 이다. 여기서 n ≥1은 홀수이며, (n+1)/2 ≤k ≤n이다.