[논문 리뷰] On semilinear Tricomi equations in one space dimension

Daoyin He, Ingo Witt외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 27.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1차원 비선형 Tricomi 방정식 $ \partial_t^2 u - t \partial_x^2 u = |u|^p $에 대해 임계 지수 $ p_{\text{crit}} = 5 $를 규명하며, $ p > 5 $일 경우 소규모 초기자료에 대한 약한 해가 전역적으로 존재하고, $ 1 < p < 5 $일 경우 유한 시간 내 폭발함을 증명한다. 분석의 핵심은 선형 탈선 방정식에 대해 새로운 가중치가 부여된 Strichartz 유형 부등식을 도출한 데 있으며, 이는 Bessel 함수 기반의 시험 함수와 특성 영역 $ \phi(t) = \frac{2}{3}t^{3/2} $ 내에서의 에너지 추정을 통해 유도된다.

ABSTRACT

For 1-D semilinear Tricomi equation $\partial_t^2 u-t\partial_x^2u=|u|^p$ with initial data $(u(0,x), \partial_t u(0,x))$ $=(u_0(x), u_1(x))$, where $t\ge 0$, $x\in\mathbb{R}$, $p&gt;1$, and $u_i\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ ($i=0,1$), we shall prove that there exists a critical exponent $p_{ m crit}=5$ such that the small data weak solution $u$ exists globally when $p&gt;p_{ m crit}$; on the other hand, the weak solution $u$, in general, blows up in finite time when $11$. By this paper and \cite{HWYin1}-\cite{HWYin3}, we have given a systematic study on the blowup or global existence of small data solution $u$ to the equation $\partial_t^2 u-tΔu=|u|^p$ for all space dimensions. One of the main ingredients in the paper is to establish a crucial weighted Strichartz-type inequality for 1-D linear degenerate equation $\partial_t^2 w-t\partial_x^2 w=F(t,x)$ with $(w(0,x), \partial_t w(0,x))=(0,0)$, i.e., an inequality with the weight $(\frac{4}{9}t^3-|x|^2)^α$ between the solution $w$ and the function $F$ is derived for some real numbers $α$.

연구 동기 및 목표

• 1차원 비선형 Tricomi 방정식에 대한 소규모 초기자료 약한 해의 전역 존재성과 유한 시간 폭발 사이의 임계 지수 $ p_{\text{crit}} $를 결정하는 것.
• 해결책의 감쇠를 제어하기 위해, 가중치 $ \left(\frac{4}{9}t^3 - |x|^2\right)^\alpha $를 갖는 선형 탈선 방정식 $ \partial_t^2 w - t \partial_x^2 w = F $에 대해 가중치가 부여된 Strichartz 유형 부등식을 수립하는 것.
• 특성 기하학을 이용해 $ |x| \leq \phi(t) = \frac{2}{3}t^{3/2} $ 영역 내 해의 거동를 분석하는 것.
• 수정 Bessel 함수 기반의 시험 함수와 $ L^p $-노름에 대한 에너지 유형 추정을 통해 $ 1 < p < 5 $에 대해 폭발을 증명하는 것.
• 1차원 파동 방정식과 비교하여, 탈선 계수 $ t $ 가 해의 수명과 감쇠 성질에 미치는 안정화 효과를 부각하는 것.

제안 방법

• 초기 조건이 0인 선형 Tricomi 방정식 $ \partial_t^2 w - t \partial_x^2 w = F $에 대해, 가중치 $ \left(\frac{4}{9}t^3 - |x|^2\right)^\alpha $를 갖는 가중치가 부여된 Strichartz 추정을 유도하여 해 노름을 제어하는 것.
• 시험 함수 $ \psi(t,x) = \lambda(t) \varphi(x) $를 구성하며, $ \lambda(t) \sim t^{-1/4} e^{-\phi(t)} $, $ \phi(t) = \frac{2}{3}t^{3/2} $, $ \varphi(x) = e^x $이며, 수정 Bessel 함수 $ K_{1/3} $ 기반으로 한다.
• 기능적 $ G_1(t) = \int_{\mathbb{R}} u(t,x) \psi(t,x) \, dx $를 정의하고, $ K_{1/3} $의 점근적 성질을 이용해 큰 $ t $에 대해 $ G_1(t) \geq C t^{-1/2} $의 하한을 도출하는 것.
• Gagliardo–Nirenberg 유형 부등식 $ G''(t) \geq C \left| G_1(t) \right|^p / \left( \int \psi^{p/(p-1)} \right)^{p-1} $의 분모를 추정하여, 최대 $ t^{-p/4} $ 비율로 증가함을 보이는 것.
• 레마 5.1을 적용하여 $ G(t) = \int |u(t,x)|^p \, dx $가 $ G''(t) \geq c t^{-p/4} $를 만족함을 보이고, $ p < 5 $일 경우 조건 $ (p-1)\alpha \geq q - 2 $를 만족함으로써 폭발이 발생함을 증명한다. 여기서 $ q = \frac{3}{2}(p-1) $이다.
• 유한 전파 속도를 이용해 $ u(t, \cdot) $의 지지 집합을 $ (-M - \phi(t), M + \phi(t)) $ 내로 국소화하여, 부분 적분과 감쇠 추정을 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 비선형 Tricomi 방정식 $ \partial_t^2 u - t \partial_x^2 u = |u|^p $에 대해 소규모 초기자료 약한 해의 전역 존재성에 대한 임계 지수 $ p_{\text{crit}} $는 무엇인가?
• RQ2 공간 연산자 내 탈선 계수 $ t $ 가 표준 파동 방정식과 비교할 때 해의 수명과 감쇠 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 특성 영역 $ \frac{4}{9}t^3 - |x|^2 $에 따라 변화하는 가중치를 갖는 선형 Tricomi 방정식에 대해 가중치가 부여된 Strichartz 유형 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ4 수정 Bessel 함수 $ K_{1/3} $는 어떤 역할을 하여 폭발을 증명하기 위한 적절한 시험 함수를 구성하는가?
• RQ5 왜 1차원 Tricomi 방정식은 $ p > 5 $일 경우 전역 해를 허용하는 반면, 1차원 파동 방정식은 모든 $ p > 1 $에 대해 폭발하는가?

주요 결과

• 1차원 비선형 Tricomi 방정식의 임계 지수는 $ p_{\text{crit}} = 5 $이며, 이는 소규모 초기자료 약한 해가 존재하는 것이고 오직 $ p > 5 $일 때에만 전역적으로 존재함을 의미한다.
• $ p > 5 $일 경우, $ \varepsilon_0 > 0 $이 존재하여 모든 $ 0 < \varepsilon \leq \varepsilon_0 $에 대해 해 $ u $가 가중치 적분 조건 $ \left(1 + |\phi^2(t) - |x|^2|\right)^\gamma u \in L^{p+1}(\mathbb{R}^{1+1}_+) $를 만족하며, $ 0 < \gamma < \frac{1}{6} - \frac{5}{6(p+1)} $이다.
• $ 1 < p < 5 $일 경우, 음이 아닌 비자명한 초기 조건 하에 $ C([0,\infty), H^1(\mathbb{R})) \cap C^1([0,\infty), L^2(\mathbb{R})) $ 내에 전역 약한 해가 존재하지 않으며, 해는 유한 시간 내에 폭발한다.
• 폭발 증명은 수정 Bessel 함수 $ K_{1/3} $ 기반으로 유도된 시험 함수 $ \psi(t,x) = \lambda(t) e^x $, $ \lambda(t) \sim t^{-1/4} e^{-\phi(t)} $를 통해 $ u $의 $ L^p $-노름에 하한을 도출함으로써 이루어진다.
• $ G''(t) \geq c t^{-p/4} $ 추정은 $ p < 5 $일 경우 폭발을 유도하며, 조건 $ (p-1)\alpha \geq q - 2 $가 $ q = \frac{3}{2}(p-1) $일 때 $ p \geq 5 $에서는 실패하고 $ p < 5 $에서는 성립하므로, 이는 유한 시간 폭발을 의미한다.
• 이 방법은 Tricomi 연산자의 탈선이 파동 방정식보다 폭발을 지연시킴을 드러내며, 특성 기하학과 가중치가 부여된 Strichartz 추정으로 인한 감쇠 향상 덕분이다.