[논문 리뷰] On semisimplification of tensor categories

Pavel Etingof, Victor Ostrik|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 13.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 텐서 범주의 준단순화 이론을 개발하며, 부각된 사상들을 몫으로 취해 준단순 범주를 얻는 구축을 도입한다. 양의 특성에서 유한군의 표현 범주를 그 Sylow p-부분군의 정규화자에 기반해 준단순화하고, 이를 대칭군 $S_{n+p}$ 및 Deligne의 범주 $\mathrm{Rep}^{ m ab}S_t$ 에 적용하며, 특성 2에서 양성군과 기울임 범주의 준단순화를 규명한다.

ABSTRACT

We develop the theory of semisimplifications of tensor categories defined by Barrett and Westbury. In particular, we compute the semisimplification of the category of representations of a finite group in characteristic $p$ in terms of representations of the normnalizer of its Sylow $p$-subgroup. This allows us to compute the semisimplification of the representation category of the symmetric group $S_{n+p}$ in characteristic $p$, where $0\le n\le p-1$, and of the Deligne category $\underline{ m Rep}^{ m ab}S_t$, where $t\in \Bbb N$. We also compute the semisimplification of the category of representations of the Kac-De Concini quantum group of the Borel subalgebra of $\mathfrak{sl}_2$. We also study tensor functors between Verlinde categories of semisimple algebraic groups arising from the semisimplification construction, and objects of finite type in categories of modular representations of finite groups (i.e., objects generating a fusion category in the semisimplification). Finally, we determine the semisimplifications of the tilting categories of $GL(n)$, $SL(n)$ and $PGL(n)$ in characteristic $2$. In the appendix, we classify categorifications of the Grothendieck ring of representations of $SO(3)$ and its truncations.

연구 동기 및 목표

• 텐서 범주의 준단순화에 대한 일반적 프레임워크를 수립하는 것, 특히 양의 특성에서.
• 유한군 $G$의 특성 $p$에서 $\mathrm{Rep}(G)$의 준단순화를 Sylow $p$-부분군의 정규화자로 계산하는 것.
• 특성 $p$에서 $t \in \mathbb{N}$에 대해 Deligne의 아벨 환경 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 의 준단순화를 규명하는 것.
• 특성 $p$에서 $U_q(\mathfrak{b})$에 대한 양성군의 준단순화를 분석하는 것, 특히 $\mathfrak{sl}_2$의 경우에 대해.
• 준단순화된 모듈라 표현 범주에서 유한 유형의 대상을 분류하고, 그것들이 생성하는 융합 하위범주를 규명하는 것.

제안 방법

• 부각된 사상의 텐서 이상을 몫으로 취해 준단순화를 구성하는 Barrett-Westbury의 방법을 사용한다.
• Green의 대응과 모듈라 표현 이론을 활용하여, Sylow $p$-부분군 $P$에 대해 $\mathrm{Rep}(G)$와 $\mathrm{Rep}(N_G(P))$를 연결한다.
• Harman의 Deligne 범주에 대한 결과를 활용하여 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 의 준단순화를 계산한다.
• 기존의 표현론적 도구를 사용하여 특성 2에서 $GL(n)$, $SL(n)$, $PGL(n)$의 기울임 범주의 구조를 분석한다.
• 분류화 기법과 Grothendieck 링 분류를 활용하여 $\mathrm{Rep}(SO(3)_{\mathbb{q}})$ 와 동치인 융합 범주를 식별한다.
• 일반화된 Jacobson-Morozov 보조정리와 등변화 및 전사 텐서 함자와의 호환성 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$에서 유한군 $G$의 $\mathrm{Rep}(G)$ 준단순화는 그 Sylow $p$-부분군의 정규화자로 어떻게 묘사될 수 있는가?
• RQ2 $t \in \mathbb{N}$에 대해 Deligne 범주 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 의 준단순화는 무엇인가?
• RQ3 $\mathfrak{sl}_2$에 대한 Kac-De Concini 양성군 $U_q(\mathfrak{b})$의 표현 범주의 준단순화는 무엇인가?
• RQ4 준단순화된 모듈라 군 표현 범주에서 어떤 대상들이 융합 하위범주를 생성하는가?
• RQ5 특성 2에서 $GL(n)$, $SL(n)$, $PGL(n)$의 기울임 범주의 준단순화는 무엇인가?

주요 결과

• 특성 $p$에서 유한군 $G$의 $\mathrm{Rep}(G)$ 준단순화는 그 Sylow $p$-부분군의 정규화자와 동치이다.
• 특성 $p$에서 $G = S_{n+p}$ 이고 $0 \leq n < p$ 이면, $\mathrm{Rep}(G)$의 준단순화가 Sylow $p$-부분군의 정규화자를 통해 명시적으로 계산된다.
• $t \in \mathbb{N}$에 대해 $\underline{\mathrm{Rep}}^{\rm ab}S_t$ 의 준단순화는 위의 결과와 Harman의 연구를 바탕으로 규명된다.
• 특성 $p$에서 $\mathfrak{sl}_2$에 대한 $U_q(\mathfrak{b})$의 표현 범주의 준단순화가 일반적 및 단위근 경우 모두에서 계산된다.
• 특성 2에서 $GL(n)$, $SL(n)$, $PGL(n)$의 기울임 범주의 준단순화가 완전히 규명된다.
• 부록에서 $SO(3)$의 Grothendieck 링과 그 절단의 모든 분류화가 분류되며, 적절한 단위근 $\mathbb{q}$에 대해 $\mathrm{Rep}(SO(3)_{\mathbb{q}})$ 와 동치임을 보여준다.